indications correction mai 2022

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parisse
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Message par parisse » ven. mai 20, 2022 4:43 am

I cf proposition 11 du chapitre produit scalaire du poly

II 1/ f est impaire
2/ donc ak=0 et bk=2/pi*formule donnée dans l'énoncé (qui se montre avec 2 intégrations par parties),
3/ c'est l'approximant de Fourier de f pour n=1, donc (2*pi^2-8)/pi*sin(t)
4/ Par application de Dirichlet à f, fonction C^1 par morceaux, f est égale à sa série de Fourier sur ]-pi,pi[, mais pas en pi ni en -pi à cause de la discontinuité du prolongement de f par périodicité.
5/ f(pi/2)=séries de Fourier en pi/2. Les termes de S(f) d'ordre n=2*k pair disparaissent (sin(2*k*pi/2)=0), restent les impairs n=2*k+1 avec (-1)^n=-1 et sin((2*k+1)*pi/2)=(-1)^k, donc
pi^2/4=2/pi*sum_{k>=0} (pi^2/(2k+1)-4/(2k+1)^3)*(-1)^k
6/ pi^3/32
7/ pi^2/4 ~= 0.968946..., la somme partielle de la série sum((-1)^k/(2k+1.0)^3,k=0..10) 0.968992... on a 4 décimales en commun

III/ 2/ on élimine x en premier, puis tout ce qui contient y a un facteur alpha en commun, puis il reste 4*t*z, donc q(x,y,z,t)=(x+2y+z)^2+alpha*(y-2z+t)^2+(t+z)^2-(t-z)^2
Signature (2,1) et rang 3 pour alpha=0, signature (3,1) ou (2,2) selon le signe de alpha et rang 4 pour alpha non nul. Ce n'est donc jamais un produit scalaire de signature (4,0).
3/ [1,0,0,0], [-2,1,0,0], 1/2*[-3.1,1,1], 1/2*[-7,3,1,-1]

IV/ 1/ Pour vérifier que 1 et -1 sont valeurs propres, le plus direct est de calculer les espaces propres correspondants ker(A-identity(3)) et ker(A+identity(3)).
On peut remarquer que si 1 et -1 sont bien valeurs propres, alors la 3ème valeur propre est obtenue avec la trace de la matrice (somme des coefficients diagonaux) qui vaut la somme des valeurs propres, donc 1/9*(1+7+1)=1+(-1)+lambda donc lambda=1 est valeur propre de multiplicité 2.
Avec cette information, on commence le calcul des espaces propres par -1 qui est valeur propre simple, on trouve que [2,1,-2] est une base de ker(A+identity(3)). Comme la matrice A est symétrique, l'espace propre correspondant à 1 est orthogonal à [2,1,-2], c'est donc le plan normal à [2,1,-2] d'équation 2x+y-2z=0, on retrouve cette équation en calculant directement l'espace propre associé à la valeur propre 1. On prend par exemple comme base de cet espace propre [2,-1,0] et [1,0,1] et on vérifie qu'ils sont bien vecteurs propres de A associés à 1.
2/ Il reste à orthonormaliser cette base, en orthogonalisant la base de l'espace propre associé à 1 par Gram-Schmidt. Comme on est en dimension 3, on peut aussi normaliser [2,1,-2] en e_1=[2,1,-2]/3, [1,0,1] en e_2=[1,0,1]/sqrt(2), et faire le produit vectoriel cross([2,1,-2],[1,0,1]) = [1,-4,-1], que l'on norme en e_3=[1,-4,-1]/(3*sqrt(2))
3/ A est la symétrie orthogonale par rapport à son espace propre de valeur propre 1, le plan d'équation 2x+y-2z=0. En effet si v est dans cet espace propre A*v=v est conservé, et si on est orthogonal on est dans l'espace propre associé à -1 donc A*v=-v le vecteur est bien envoyé sur son symétrique.

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