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Message par parisse » lun. janv. 16, 2023 6:02 pm

Organisation de l'UE.

Motivation: décomposer une fonction périodique à l'aide des fonctions périodiques fondamentales sin/cos, pour résoudre ou mieux comprendre les solutions de certaines équations linéaires de la physique
-> Exemple du son (à faire vendredi)
-> Exemple équation lineaire du 2nd ordre à coeff constant avec second membre périodique, si c'est un sin/cos on connait la forme d'une solution particulière.
-> Certaines équations n'ont pas de solution analytique, mais on peut décrire les solutions à partir de sommes de solutions particulières à base de sin/cos. C'est le cas de l'équation de la chaleur.
Modélisation d'une tige qu'on a utilise (en x=L) pour remuer les braises dans un feu et qui est ensuite laissée dans un milieu isolant. Dans [x,x+dx], chaleur entrant en x+dx c'est dT/dx(x+dx), chaleur sortant en x c'est dT/dx(x), la différence sert à réchauffer dx*dT/dt. Conditions aux bords dT/dx(0)=dT/dx(L)=0.
Recherche d'une solution à variables séparées f(x)*g(t) -> k*g'/g=f''/f=alpha, alpha<=0 sinon g explose et on ne trouve pas de solution non triviale en f avec les conditions au bord. Quantification de alpha avec les conditions aux bords. Solution particulière en cos(n*pi*x/L)*exp(-n^2*pi^2/L^2*t/k).
(n.b. j'ai mis k dans l'autre membre de l'équation par rapport au poly).
Equation linéaire, on peut résoudre si on sait écrire la température à l'instant t=0 comme somme de cos.

Pour donner du sens a tout cela, il faut revenir sur l'algèbre linéaire, mais avec des fonctions comme vecteur. Il faut aussi donner un sens à convergence (->produit scalaire, norme), en commençant par comprendre la convergence de somme à l'infini de réels (avant de passer aux fonctions).

5 chapitres: révisions d'algèbre linéaire, formes bilinéaires symétriques, produits scalaires, séries numériques, séries de Fourier.

Chapitre 1: Révisions d'algèbre linéaire.
Définition d'espace vectoriel sur R ou C: loi + de groupe commutatif et loi externe.
Exemples R^2, R^3, R^n, polynomes à coeff réels, fonctions de R dans R ou d'un intervalle de R dans R.
Sur C: C^2, C^3, C^n, poly à coeff complexes, fonctions de R dans C
Proposition: sous-espace vectoriel: contient 0, est stable par + et par multiplication par un scalaire.
Exemples: polynomes de degre<=n, fonctions continues de R->R,
Exercice: fonctions periodiques de periode 2*pi? fonctions periodiques de R->R ?
Exemples: solutions d'un système linéaire homogène,
Exemple: Vect(ensemble de vecteurs) (N.B.: si ensemble infini de vecteurs, la combinaison linéaire est finie)
Def d'espace de dimension finie.

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Message par parisse » ven. janv. 20, 2023 12:18 pm

20/1 cours 2/14:
Vect(v_1,..,v_n) est un sous-espace vectoriel. Famille génératrice (finie), def d'espace de dimension finie. Recherche d'une famille génératrice sans vecteur superflu -> def. famille libre, extraction d'une famille libre et génératrice d'une famille génératrice -> base.

Prop: une famille libre dans un ev ayant une base de n éléments a au plus n éléments.
Corollaire: toutes les bases ont même nombre d'éléments, c'est la dimension.
Bases canoniques: R^n, R_n[X], matrices a l lignes et c colonnes
Contre-exemple: R[X] ev n'est pas de dimension finie (preuve avec le degré max d'une éventuelle famille génératrice), les fonctions continues de I dans R, les fonctions periodiques de période 2pi:

Coordonnées dans une base.
Exemple: bases (exp(2ix),exp(-2ix)) (abus de notation) et (cos(2x),sin(2x)) du C-espace vectoriel des solutions de f""+4f=0
Def de matrice de passage P d'une base B1 a une base B2 (coord de la base B2 exprimée dans B1 en colonnes), si v a pour coordonnées le vecteur colonne V1 dans B1 et V2 dans B2 on a la formule P*V2=V1. Pour éviter de se tromper sur la position de P, on peut prendre le 1er vecteur de la base B2, V2=[1,0,...]* et V1=1ere colonne de P.

Sous-espace vectoriel de dim finie est de dim finie.
Somme d'espaces vectoriels,
Somme directe, exemple: espaces propres
Prop: Si V de dim finie, base de V = union de bases de Vi

Applications linéaires:
def: phi V->W
Exemples 1/ R^3->R^2
2/ contre-exemple R^3->R^2
4/ phi(f)=f''+4f des fonctions C infini de R dans R dans lui-même

def Ker(phi)
prop Ker(phi) sev de V

def Im(phi)
prop Im(phi) sev de V
Exemple 4

Matrice A de phi si V et W de dim finie de bases B1 et B2.
Calcul des coordonnées d'une base de Ker(phi): système linéaire ayant pour matrice A
Calcul des coordonnées d'une base de Im(phi): réduction de Gauss sur les colonnes de la matrice A.

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Message par parisse » ven. janv. 27, 2023 2:01 pm

Cours 3 sur 14 du 27/1
Calcul simultané du noyau et de l'image d'une application linéaire par le pivot de Gauss sur les coordonnées de phi(base), en gardant en mémoire de qui on est l'image. Les images non nulles forment alors une base de Im(phi) et les images nulles correspondent à une base de Ker(phi). Conséquence: théorème du rang.

Correspondance entre opérations sur les matrices et les applications linéaires: somme, multiplication par un scalaire.
Produit de matrices et composition d'applications linéaires, condition de compatibilité des dimensions. Produit associatif mais pas commutatif (même si les dimensions permettent de le définir).
phi est inversible ssi Ker={0} et Im(phi)=W, l'inverse est linéaire. En dimension finie, si dim(V)=dim(W) phi est inversible ssi Ker={0}.
Inverse de matrice. Calcul par résolution simultanée de n systèmes ayant même matrice et seconds membres les colonnes de la matrice identité (qui sont les coordonnées de la base canonique en colonnes)-> pivot de Gauss sur (A|Id)

Formule de changement de base N=P^-1*M*P pour un endomorphisme de matrice M dans la base B et N dans B', P la matrice de passage de B a B'.
Transposition et produit, t(AB)=tB*tA, même règle d'inversion des arguments que pour (AB)^-1=B^-1*A^-1
Matrice symétrique tA=A, antisymétrique tA=-A, forment un sous-espace vectoriel (noyau de id-transposée ou id+transposée). Exercice: symétrique et antisymétrique sont en somme directe (exo de la feuille de TD bilinéaire)

Définition de forme bilinéaire. Cas symétrique. Cas antisymétrique.
Exemples:
- R^2 produit scalaire canonique. Se généralise en dimension n.
- R^2 phi((x,y),(x',y'))=x*y+x'*y' n'est pas bilinéaire
- le déterminant dans R^2, il est antisymétrique. Ne se généralise pas en dimension != 2
- R[X] phi(P,Q)=P(1)*Q(1)
- integrate(f(t)*g(t),t,-1,1) sur les fonctions régulières de R dans R

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Re: cours 2023

Message par parisse » lun. janv. 30, 2023 11:41 am

cours 4 du 30/1:
bilinéaire = linéaire si on fixe un des arguments.
Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique et formule phi(x,y)=1/2*(q(x+y)-q(x)-q(y))

Exemple générique de bilinéaire: phi(X,Y)=tX*M*Y, M matrice carrée de taille n fixée.
Cas ou V est de dimension finie, matrice de phi dans une base, exemple phi(P,Q)=P(2)*Q(3) dans R_1[X]
Formule de changement de base tP*M*P, vérification pour phi(P,Q)=P(2)*Q(3) avec base canonique de R_1[X] et (1,X-2).

Recherche de l'analogue de la réduction des endomorphismes: une base B où la matrice de phi est diagonale. On a alors phi(e_i,e_j)=0 => définition de l'orthogonalité entre 2 vecteurs pour une forme bilinéaire symétrique phi.
Remarque: si phi est antisymétrique et si la matrice de phi est diagonale, alors phi est nulle, pas très intéressant => on s'intéresse aux formes bilinéaires symétriques. Attention, une forme non antisymétrique n'est pas forcement symétrique!

Recherche des vecteurs orthogonaux a un vecteur v donne: Ker(f) avec f(w)=phi(v,w), en dim finie, c'est un sev de dimension n-1 ou n (dans ce dernier cas on dit que v est dans le noyau de phi).
Exemple: produit scalaire, phi(P,Q)=P(1)*Q(1), X-1 est orthogonal à lui-même et est en fait dans le noyau (attention à l'intuition). L'orthogonal de 1 est Vect(X-1).
Remarque: orthogonal d'un ensemble de vecteurs, on résoud le système phi(v,e_i)=0, 1<=i<=k pour une base de Vect(ensemble de vecteurs).

Théorème d'existence de bases phi-orthogonales pour une FBS, preuve par récurrence.
Remarque: preuve théorique, on ne fait pas du tout comme ça en pratique.

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Message par parisse » ven. févr. 10, 2023 12:40 pm

cours du 10 février:
* rappel de la définition de ker(phi) pour phi une FBS. En dimension finie, ker(phi)=noyau de l'endomorphisme ayant la même matrice que phi dans une base donnée.
* déf de rang(phi) (indépendant de la base), c'est le rang de la matrice de phi dans une base
* Calcul de la matrice d'une forme quadratique à partir de son expression et inversement. exemples
* Dans une base phi-orthogonale, q est une somme/différence de carres. Pour trouver une base q-orthogonale on va essayer d'exprimer q de cette façon, avec Q inversible.
* Algorithme de réduction de Gauss:
Cas générique: le coeff de x_1^2 est non nul, on élimine cette variable, on recommence avec les variables qui restent, cela donne une matrice Q triangulaire supérieure inversible et facile à inverser : résolution de systèmes triangulaires
Q*vecteur colonne [x1,..,xn]=les vecteurs colonnes de la base canonique de R^n
Exemple avec x^2+4*x*y, réduction, calcul de P
2eme exemple dans R^3

Si le coeff de x1^2 est nul, on peut commencer par une autre variable.
S'il n'y a pas de carre de variable, on elimine 2 variables en meme temps en creant une difference de carres 4*alpha*beta=(alpha+beta)^2-(alpha-beta)^2, en mettant dans alpha*beta tout ce qui depend des 2 variables.
Exemple du poly dans R^4. La matrice est quasi-triangulaire (avec un petit bourrelet sous la diagonale) et reste inversible.

* Définition de base phi-orthonormale, calcul à partir d'une base phi-orthogonale si phi(e_i,e_i)>0
Exemple x^2+2*x*y+4y^2
* rang(phi)=nombre d'éléments diagonaux non nuls dans une base phi-orthogonale

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Message par parisse » ven. févr. 24, 2023 11:33 am

Cours du 24 février (6ème sur 14)
Commandes a2q, q2a et gauss pour vérifier des calculs sur les formes quadratiques.

Attention, contrairement à la réduction des endomorphismes où les valeurs propres ne dépendent pas de la base, les coefficients sur la diagonale dépendent de la base q-orthogonale. Par contre on aura le théorème de Sylvester: la signature=(nombre de coeffs >0, nombre de coeffs<0) ne dépend pas de la base. Définition de la signature (en admettant le théorème pour que ce soit bien défini indépendamment de la base).
Exemple x^2+4*x*y signature (1,1)
exemple (x+y+2z)^2-(y+z)^2-3z^2 signature (2,1)
Attention : il faut que les arguments des carres soient independants, par ex. (x+y)^2-x^2-y^2 n'est pas de signature (1,2) mais (1,1). Ceci est automatique si on applique Gauss correctement.

Observation: si on ordonne les éléments d'une base q-orthogonale en (e_1,...,e_r, e_(r+1),..,e_(r+s),..,e_n) alors q est positive sur Vect(e_1,...,e_r) et ne s'annule qu'au vecteur nul. Sur Vect(e_(r+1),...,e_n) q est négative ou nulle.
Rang=r+s.
Ker(q) est engendre par les vecteurs d'une base q-orthogonale correspondant aux coeffs nuls.
Démonstration du théorème d'inertie de Sylvester.

Attention Ker(q) n'est pas en général l'ensemble des vecteurs tels que q(v)=0, qui est le cône isotrope de q. Par exemple pour q(x,y)=x*y ce sont 2 droites. Ou pour x^2+y^2-z^2=0 un cône (d'où le nom).

Dans la suite, on s'intéressera aux formes de rang (n,0) ou plus généralement définies positives (les formes quadratiques plus générales ont quand même un intérêt en physique, par ex. x^2+y^2+z^2-c^2*t^2.

Definition en dimension quelconque de forme quadratique definie positive.
En dimension finie, critère avec Gauss signature=(dimension,0) et existence de base q-orthonormée si q est définie positive en dimension finie.
Exemple de calcul avec Gauss pour q=x^2-4xy+2xz+12y^2-12yz+6z^2
Attention, il faut normer en divisant par sqrt(q(vecteur)) et pas avec la norme usuelle du vecteur.

Exemple en dimension infinie:
phi(P,Q)=integrale de -1 a 1 de P(t)*Q(t) sur les fonctions continues.

Si q est définie positive sur un espace vectoriel V alors sa restriction à un sous-espace le reste. Ainsi, phi (ou q) ci-dessus l'est sur R_2[X], pas besoin d'appliquer Gauss. On verra au prochain chapitre comment trouver des bases q-orthonormales sans passer par Gauss.

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Message par parisse » ven. mars 03, 2023 11:14 am

Chapitre 3 produits scalaires (cours 7 sur 14)
Définition
Exemples de produits scalaires: canonique sur R^n,
integrate(f(t)*g(t),t,-1,1) sur C^0([a,b],R), trace(transpose(M)*N) sur les matrices
Contre-exemple phi(P,Q)=P(0)*Q(0)+P(1)*Q(1) sur R[X] est positif mais pas defini. Sur R_1[X] c'est un produit scalaire.
Rappel En dim finie, produit scalaire ssi signature=(dim,0)

Survol de ce qu'on va traiter sur les produits scalaires:
* permet de donner un sens a distance/norme, y compris pour des fonctions
* un interet: disposer de bases orthonormales (en dim finie) et généralisation en dim infinie
* construction de bases orthonomées adaptées a un problème de minimisation, par ex. distance d'un point à un plan. Gauss ne nous donne aucun contrôle sur les vecteurs de la base orthonormées. Nouvelle méthode: Gram-Schmidt.
* compatibilité du produit scalaire avec les applications linéaires
1er cas symétrie si <phi(v)|w>=<v|phi(w)> alors 2 vecteurs propres associes a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux -> on va pouvoir construire des bases à la fois orthonormees et de vecteurs propres.
2ème cas: isométrie si <phi(v)|phi(w)>=<v|w> (préserve le produit scalaire)
exemple rotation en dimension 2

Inégalite de Cauchy-Schwartz
Inégalite triangulaire
Thm de Pythagore
Cas de n vecteurs orthogonaux 2 à 2. Une famille de tels vecteurs non nuls est libre.
En dimension finie, coordonnées dans une base orthonormée

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Message par parisse » ven. mars 10, 2023 11:24 am

Cours du 10 mars (cours 8 sur 14)
Rappel : calcul des coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale.
Si on applique la même formule pour une base orthonormale d'un sous-espace vectoriel W de dimension finie on obtient le projeté orthogonal sur W (x-projeté de x est orthogonal à W)
Exemples:
R^3 projection sur la droite engendrée par (1,1,-1)
projection de X^2 sur Vect(1,X) avec le produit scalaire integrate(P*Q,X,-1,1): on trouve le polynôme 1/3

Propriétés:
La projection réalise le minimum de la distance avec le sous-espace vectoriel sur lequel on projette (preuve par Pythagore)
Si W est de dimension finie, alors W et Worthogonal sont en somme directe.

Pour calculer une projection, il faut trouver une base orthonormale du sous-espace où on projette.
Exemple: R^3 projection sur le plan d'équation x+y=z en cherchant une base orthonormale du plan
Remarque: il est plus simple ici de projeter sur l'orthogonal du plan qui est une droite.

Cas général:
Algorithme de Gram-Schmidt: construire une base orthonormale w_1, ... ,w_k qui préserve les Vect(v_1,...,v_k).
Se fait par récurrence en normalisant v_k - projeté de v_k sur Vect(v_1,...,v_{k-1})=Vect(w_1,...,w_{k-1})
Exemple: l'exemple précédent
<P|Q>=P(-1)*Q(-1)+P(0)*Q(0)+P(1)*Q(1) sur R_2[X], GS sur la base canonique.

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Message par parisse » ven. mars 24, 2023 5:00 pm

Cours du 24 mars:
Variante de Gram-Schmidt en orthonormalisant seulement à la fin
Exemples de Gram-Schmidt
* R^3, [1,1,0], [1,0,1],[0,1,1], remarque en dimension 3 avec le produit scalaire usuel on peut obtenir le 3ème vecteur par produit vectoriel des deux premiers.
* R^2, produit scalaire associé à q(x,y)=x^2+2*x*y+4*y^2, à partir de la base canonique
* approximant de Fourier a l'ordre 1: Gram-Schmidt sur (1,sin,cos) pour phi(f,g)=1/pi*integrate(f*g,x,-pi,pi), projete de x, de x^2+3x
session Xcas
* Utilisation de la commande gramschmidt à la calculatrice avec définition de ce produit scalaire
* approximation linéaire de x^2 sur [0,pi/2] pour phi(f,g)=integrate(f*g,x,0,pi/2), représentation graphique de la fonction et de son projeté linéaire :
session Xcas
* analogue discret: la régression linéaire vue avec les outils du chapitre: dans R^n on projète le vecteur Y=(y1,..,yn) sur l'espace engendre par 1=(1,1,1...,1) et X=(x1,...,xn) en en cherchant une base orthonormale par Gram-Schmidt. On obtient une droite de coefficient directeur covariance(xi,yi)/variance(xi) et passant par (moyenne(xi),moyenne(yi))
Exemple: https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... A0%200.022&

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Message par parisse » ven. mars 31, 2023 10:43 am

Endomorphisme symétrique pour un produit scalaire, caractérisation par transpose(M)=M si produit scalaire usuel et M matrice de f dans la base canonique.
Thm: M diagonalisable, valeurs propres réelles, et existence d'une base orthonormale.
Si valeur propre de multiplicité >1, il faut faire Gram-Schmidt dans le sous-espace
Exemples [[3,4],[4,-3]] et [[1,-2,2],[-2,1,2],[2,2,1]]

Matrice d'une base orthonormale si transpose(P)*P=identite
Donc P^-1*M*P=transpose(P)*M*P et la matrice de la forme quadratique (ayant M comme matrice dans la base canonique) est diagonale.
Exemple avec les formes quadratiques correspondant aux matrices ci-dessus.

Isométrie vectorielle, équivaut à la conservation du produit scalaire ou à l'image de la base canonique est une base orthonormale, donc de matrice P telle que transpose(P)*P=identite

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Message par parisse » ven. avr. 07, 2023 10:31 am

Isométrie vectorielle: les valeurs propres sont de module 1.
Recherche en dimension 2: rotation d'angle theta (det=1, valeurs propres exp(+/-i*theta)) et symétrie orthogonale par rapport a une droite (det=-1).
En dimension 3: rotation, rotation composée symétrie, +/-identité et symétries orthogonales plan/droite

Chapitre 4: Séries numériques.
Def, terme général, somme partielle, convergence si somme partielle converge
Ne dépend pas des premiers termes.
L'ensemble des séries convergentes est un sous-espace vectoriel.

Séries a termes positifs: converge ou tend vers +infini.
Série quelconque: si la série converge alors le terme général tend vers 0, réciproque fausse.
Contre-exemple sum(1/n)>=1+1/2+2*1/4+4*(1/8)+8*(1/16)+...

Critère de comparaison pour série à terme positifs.
Exemple sum(1/n^2) converge par comparaison avec 1/(n*(n-1))
Exercice: montrer que sum(1/n^alpha) diverge si alpha<=1 et converge si alpha>=2

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Message par parisse » ven. avr. 21, 2023 12:01 pm

Séries numériques:

Critère des équivalents.
exemple sum(sin(1/n)), sum(sin(1/n)-1/n)

Séries à terme quelconque: attention les critères ci-dessus ne s'appliquent pas (y compris celui des équivalents).
Def. de convergence absolue, thm (admis) convergence absolue => convergence. Réciproque fausse.

Series a termes positifs:
Critere de d'Alembert,
s'il s'applique la convergence des sommes partielles est assez rapide, typiquement quelques dizaines de termes pour avoir 3 chiffres significatifs et environ le double pour en avoir 6.

Il ne s'applique pas pour sum(1/n) ou sum(1/n^2), ni pour les séries de Fourier.
Critère de Riemann: sum(1/n^alpha) converge si et seulement si alpha>1
Preuve avec comparaison avec intégrale.

Séries de Fourier:
approximant de Fourier.
T=période de f, définie sur [-L,L] avec T=2L, omega=2*pi/T=pi/L
Fonctions continues par morceaux sur [-L,L], produit scalaire 1/L*integrate(f(t)*g(t),t,-L,L)
(pour avoir un produit scalaire, on suppose que la valeur de la fonction au point de discontinuité est comprise entre les limites a gauche et droite).
Famille orthogonale (1,cos_1,...,cos_k,sin_1,...,sin_k), orthonormale avec 1/sqrt(2), projection de f=approximant de Fourier, valeur des coefficients et def des coeff de Fourier trigo.

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Message par parisse » ven. avr. 28, 2023 10:28 am

Cours du 28 avril:
Exemple de calcul d'un approximant de Fourier : f(t)=t,
Calcul à la machine d'un approximant à l'ordre 10, Illustration, et observation du phenomene de Gibbs
session Xcas
Commandes fourier_an/fourier_bn de Xcas et sur la calculatrice.

Coefficients exponentiels de Fourier et lien avec l'approximant de Fourier S_N et les coeffs trigonométriques.
Exemple de calcul avec f(t)=t.

Etude de la limite S_N pour N->infini
Thm de Dirichlet (admis) si f est C^1 par morceaux, cv de la série de Fourier vers la moyenne des limites a gauche et droite.
Exemple f(t)=t, en t=0, en t=pi, en t=î/2
Remarque: le thm donne la convergence de la série, ce qui n'est pas toujours évident, par ex. pour f(t)=t en pi/2, la série n'est pas absolument convergente.

Inégalité de Parseval.
Thm de Parseval (admis) si f est C^0 par morceaux, distance de f-S_N(f) tend vers 0
Identiité de Parseval
Exemple: f(t)t.

2ème exemple: f(t)=0 sur [-pi,0] et 1 sur [0,pi[
Calcul de an=0 si n!=0, attention à a0=1/2. Dirichlet en pi/2, Parseval.

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Re: cours 2023

Message par parisse » ven. mai 05, 2023 10:31 am

Dernier cours (14) du 5 mai:

Prop: si f et g C^0 par morceaux ont même série de Fourier, alors elles sont égales là où elles sont toutes les deux continues.

* séries de Fourier d'une fonction paire/impaire, conséquence: séries en sin et cos en prolongeant f sur [0,L] par parité et imparité. Exemple série en sin de exp(t) sur [0,pi].
Illustration machine: viewtopic.php?f=36&p=12739#p12739
Vérification à la calculatrice avec piecewise, fourier_an/bn et sum (pour somme partielle de Parseval)
Prolongements hors programme de l'examen:
* retour sur la résolution de l'équation de la chaleur avec une série en cos
* l'équation de Schrodinger ressemble à l'équation de la chaleur, *mais* il y a un i, il faut travailler sur un C-espace vectoriel.
* pour généraliser les produits scalaires à des C-espaces vectoriels il faut remplacer forme bilinéaire par antilinéaire par rapport à un des arguments de la forme, pour rester défini positif.
* si on fait cela avec le produit scalaire usuel des fonctions sur [-L,L] a valeurs dans C, on voit que la famille exp(i*k*omega*t) est orthonormale et on retrouve les coefficients de Fourier exponentiels en calculant le produit scalaire <exp(i*k*omega*t)|f>, l'antilinéarité explique alors naturellement le signe - dans l'exponentielle du coeff de Fourier exponentiel.
* pour résoudre Schrodinger, on utilise une base orthonormale infinie de vecteurs propres de la partie en espace (on peut trouver une base orthonormale comme pour les matrices symétriques parce que l'opérateur de Schrodinger est hermitien), qui remplace les exp(i*omega*t).

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