examen mai 2023

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parisse
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examen mai 2023

Message par parisse » mer. mai 31, 2023 1:31 pm

Question de cours:
1/ Si deux fonctions continues par morceaux ont même série de Fourier, elles sont égales partout où elles sont continues. En effet la différence des deux fonctions a une série de Fourier nulle, donc par Parseval l'intégrale de son carré est nulle.
2/ \(3\sin(x)+\sin(3x)\) a comme coefficients de Fourier \(b_1=3, b_3=1\) et tous les autres coefficients nuls (si on suppose que l'on fait le développement sur \([-\pi,\pi]\), si on prend une autre période que \(2\pi\), on peut seulement dire que les a_k sont nuls par imparité).

Exercice 1:
  1. on a \(\Phi_\alpha(x,y)=X^t *M_\alpha * Y\) avec \(M_\alpha=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&2\\-1&\alpha&0\\2&0&5\end{array}\right)\) donc \(\Phi_\alpha\) est bilinéaire et symétrique puisque \(M_\alpha\) est symétrique.
  2. \(q(x,y,z)=x^2-2xy+4xz+\alpha y^2+5z^2=(x-y+2z)^2+(\alpha-1)y^2+4yz+z^2\)
    \(=(x-y+2z)^2+(z+2y)^2+(\alpha-5)y^2\)
    (on a pris l'ordre de variables \(x,z,y\) en mettant y en dernière variable pour éviter de traiter un cas particulier en fonction de \(\alpha\)):

    Code : Tout sélectionner

    q:=x^2-2*x*y+4*x*z+alpha*y^2+5z^2; gauss(q,[x,z,y])
    Signature (3,0) si \(\alpha>5\), (2,0) si \(\alpha=5\) et (2,1) si \(\alpha<5\)
  3. Donc produit scalaire si \(\alpha>5\)
  4. Pour \(\alpha=6\), on a \(q(x,y,z)=(x-y+2z)^2+y^2+(z+2y)^2\), on résoud les systèmes
    \(x-y+2z=1, y=0,z+2y=0\) solution (1,0,0) puis \(x-y+2z=0, y=1,z+2y=0\) solution (5,1,-2), puis \(x-y+2z=0, y=0,z+2y=1\) solution (-2,0,1) d'où une matrice \(P\)
    \(P=\left(\begin{array}{ccc}1&5 &-2\\0&1&0\\0&-2&1\end{array}\right)\)
    (on peut permuter les colonnes de \(P\), d'autres solutions existent si on a effectué la décomposition de Gauss dans un autre ordre de variables que \(x,z,y\))
    Vérification à la machine: on entre les coefficients de x,y,z en ligne et on inverse

    Code : Tout sélectionner

    p:=[[1,-1,2],[0,1,0],[0,2,1]]; 1/p
Exercice 2:
  1. Les 2 vecteurs colonnes sont clairement non colinéaires et vérifient l'équation du plan \(x+y=2z\) donc l'image de \(\phi\) est bien le plan.
  2. On normalise le 1er vecteur colonne en \(f_1=\frac{1}{\sqrt{5}}[2,0,1]\). On retire du 2ème vecteur colonne sa projection sur le 1er, puis on normalise ce qui donne \(f_2=\frac{1}{\sqrt{30}}[-1,5,2]\)
    Vérification

    Code : Tout sélectionner

    f1,f2:=gramschmidt([2,0,1],[1,1,1])
  3. [1,0,0] ne vérifie pas l'équation du plan donc \(Av=b\) n'a pas de solution
  4. \(p=p(b)=\langle f_1|b \rangle f_1 + \langle f_2|b \rangle f_2=\frac{1}{6}[5,-1,2]=\frac12[2,0,1]-\frac16[1,1,1]\)

    Code : Tout sélectionner

    b:=[1,0,0]; simplify(dot(f1,b)*f1+dot(f2,b)*f2)
  5. la projection \(p=p(b)=Av\) réalise le minimum de la distance entre un point quelconque du plan \(Aw\) et \(b\)
Exercice 3: il faut diagonaliser la matrice symétrique de la forme quadratique. On peut s'aider de la calculatrice (commande eigenvals et eigenvects) pour trouver les valeurs propres et vecteurs propres (à la main on peut faire la somme des 3 lignes ou des 3 colonnes du déterminant pour faire apparaitre que 2 est valeur propre).

Code : Tout sélectionner

m:=[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,0]]; eigenvals(m); eigenvects(m) 
On trouve [1,1,1] associé à 2, [1,-1,0] associé à 1 et [1,1,-2] associé à -1. Il suffit ensuite de normaliser pour avoir une base orthonormale de vecteurs propres, qui sera orthogonale pour la forme quadratique. La signature se déduit du signe des valeurs propres donc (2,1).

Exercice 4:
  1. La fonction est impaire
  2. Donc les coefficients \(a_0, a_n\) sont nuls, et
    \(b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x) \sin(nx) \ dx=\frac2\pi\int_0^\pi x^2 \sin(nx) \ dx\)
    Avec la primitive donnée dans l'énoncé, on a
    \(b_n=\frac{2}{n^3\pi}((2-n^2\pi^2)(-1)^n-2)\)
    Vérification

    Code : Tout sélectionner

    f:=piecewise(x<0,-x^2,x^2); bn:=fourier_bn(f,n)
  3. La fonction est \(C^1\) par morceaux, et continue sur \(]-\pi,\pi[\) donc égale à sa série de Fourier sur cet intervalle ouvert (théorème de Dirichlet). En \(\pm \pi\) la série de Fourier est nulle, moyenne des limites à droite et gauche de la fonction.
  4. Comme la fonction est continue par morceaux, on peut appliquer Parseval
    \(\frac1\pi\int_0^\pi x^4 \ dx = \frac12 \sum_{n=1}^\infty b_n^2 \)
    soit
    \(\frac{\pi^4}{5}= \frac12 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{n^3\pi}((2-n^2\pi^2)(-1)^n-2)\right)^2 \)
    A la calculatrice, on trouve environ 19.48 pour le membre de gauche, 17.6 à droite si on somme jusqu'à 10, 18.83 jusque 30, 19.28 jusque 100 et 19.46 jusque 1000.

    Code : Tout sélectionner

    I:=1/pi*integrate(x^4,x,0.0,pi); 0.5*sum(bn^2,n=1..10)
La liste des vérifications et calculs dans une session Xcas

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