indications correction mai 2022

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parisse
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indications correction mai 2022

Message par parisse » lun. juin 20, 2022 11:56 am

Exercice 1 et calculs de l'exercice 3:
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Re: indications correction mai 2022

Message par parisse » lun. juin 20, 2022 2:43 pm

Exercice 2: \(\cos(t^2)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{4n}}{(2n)!}\),
rayon de convergence infini, on peut intégrer sous le signe somme donc
\(F(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+1}}{(2n)! (4n+1)}\).
Cette serie est alternee si |x|<=1, donc le reste de la somme partielle jusque N est majoré en valeur absolue par le premier terme du reste en valeur absolue donc par le terme général en n=N+1
\(\frac{|x|^{4N+5}}{(2N+2)! (4N+5)}[ \leq \frac{1}{(2N+2)! (4N+5)}\)
On cherche N tel que cela soit plus petit que 1e-8, on trouve N=5, donc la valeur approchée de F(1) est

Code : Tout sélectionner

sum((-1)^n*1^(4n+1)/(2n)!/(4n+1),n,0,5)
soit 15233328589/16841260800 qui vaut environ 0.904524237817. On vérifie avec

Code : Tout sélectionner

integrate(cos(t^2),t,0,1.0)

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Re: indications correction mai 2022

Message par parisse » lun. juin 20, 2022 2:56 pm

Exercice 3 fin: x-x0 et x-x1 valent 1/3 et -2/3 et sont obtenus en soustrayant 2 nombres proches de 10^4, on perd environ 4 décimales, en calcul approché il reste un peu moins de 11 décimales correctes, on a donc une erreur absolue < 1e-10. Les autres calculs de N(x) ne font pas de soustraction de nombres très proches, il n'y a pas de perte de précision importante. On peut donc estimer la précision de N(x) correcte a environ 10 décimales et c'est bien ce qu'on observe quand on compare N(x) et 1/3.
Par contre la précision de D(x) est moindre parce que à la dernière étape on va additionner un nombre négatif et un nombre positif de l'ordre de 10^8 (150025001) qui se compensent presque pour obtenir un réel proche de 1/3, on va donc perdre plus que 8 décimales, il n'en restera même pas 7 de correctes et c'est aussi ce qu'on observe.

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