Exercice 1
1.1/ on supprime le terme constant et on divise par x,
\(\sum_{j=1}^{\infty} (-1)^j \frac{x^{2j-1}}{(2j)!}\)
Et \(R=+\infty\) (celui de cosinus)
1.2/ On intègre terme à terme
\(F(x)=\sum_{j=1}^{\infty} (-1)^j \frac{x^{2j}}{(2j)! 2j}\)
1.3/ pour \(x=1\) la série est alternée (alternance de signe et décroissance vers 0), si on arrête la somme à l'indice n, alors le reste est majoré en valeur absolue par \(\frac{1}{(2(n+1))! 2(n+1)}\) qui devient plus petit que 1e-8 pour n=5. Donc
\(|F(1)-\sum_{j=1}^{5} (-1)^j \frac{x^{2j}}{(2j)! 2j}|<{\tt 1e-8}\)
la somme vaut
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sum((-1)^j/(2j)!/2/j,j,1,5)
On peut vérifier en calculant
Code : Tout sélectionner
integrate((cos(t)-1)/t,t,0.0,1)
\(\int_1^x\frac{\cos(t)}{t} \ dt= \int_1^x \frac{\cos(t)-1}{t}\ dt+ \int_1^x \frac{dt}{t}=F(x)-F(1)+\ln(x)\)
Exercice 2
2.1 \(I_N(1)=\frac{1}{6N}\left( f(0)+f(1)+2\sum_{j=1}^{N-1} f(\frac{j}{N}) + 4 \sum_{j=0}^{N-1} f(\frac{j+1/2}{N}\right)\) où \(f(t)=\tan(t^2)\)
2.2 On calcule f4 la dérivée 4-ième de f
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f(t):=tan(t^2); f4:=diff(f(t),t,4)
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N:=8; 1/6/N*(f(0)+f(1.0)+2*sum(f(j/N),j,1,N-1)+4*sum(f((j+.5)/N),j,0,N-1))
Code : Tout sélectionner
integrate(tan(t^2),t,0.0,1)
2.4/ Si on ne tient pas compte des erreurs d'arrondis, l'erreur totale sera \(\epsilon+\frac{M_4}{2880N^4}\) car on somme 6N termes avec une erreur absolue de \(\epsilon\), ce qui donne une erreur absolue de \(6N\epsilon\) puis on divise par 6N.
Pour étudiants avancés: Si on tient compte des erreurs d'arrondis dans la somme (erreur relative supposée être en \(\epsilon\)), il faut ajouter (cf. https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec10) un terme proportionnel à
\(\epsilon \sum_{j=1}^{6N} (6N-j)=\epsilon 3N(6N-1)\)
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factor(sum((6N-j),j,1,6N))
2.5/ Sans tenir compte des erreurs d'arrondis, plus N est grand, plus l'erreur sera petite, mais elle restera toujours au moins d'ordre \(\epsilon\). Le N optimal est donc de l'ordre de grandeur tel que les deux termes d'erreurs sont égaux, soit
\(\epsilon=\frac{M_4}{2880N^4}\)
donc N de l'ordre de 20 000, pour une erreur d'ordre 2e-17.
En tenant compte des erreurs d'arrondi, on aura plutôt
\(3N\epsilon=\frac{M_4}{2880N^4}\)
donc N de l'ordre de 4000, pour une erreur de l'ordre de 1e-13.
2.6/ (Bonus pour étudiants avancés) cela correspond à l'hypothèse que les erreurs se comportent comme des variables aléatoires indépendantes, la variance d'une somme d'erreurs est la somme des variances.
Sans tenir compte des erreurs d'arrondi, \(\epsilon\) est remplacé par \(\epsilon/\sqrt{N}\) et donc l'erreur tend vers 0, pour N petit en 1/N^4 mais pour N grand en 1/sqrt(N) ce qui est très lent, on a donc intérêt à s'arrêter lorsque les 2 erreurs deviennent proches, N de l'ordre du millier avec une erreur presque toujours plus petite que 1e-15.
Si on tient compte des erreurs d'arrondi, la variance de la somme des erreurs d'arrondi va se comporter comme
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factor(sum((6N-j)^2,j,1,6N))
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(sqrt(2)*9185/2880/1e-17)^(1/4.5)