1/ sinus est entre -1 et 1, donc f(x)∈[y−a,y+a]. De plus f′(x)=acos(x) donc |f′|≤a<1. On en déduit que f est contractante de rapport a.
2/ On a |un−l|≤an2a, il suffit que 2an+1≤ϵ soit n>=ln(ϵ/2)/ln(a)−1
3/ a<0.5
4/ un+1=un−g(un)/g′(un)
5/ g′(x)=1−acos(x),g′′(x)=asin(x) donc g est croissante et convexe sur [π/2−0.5,π/2+0.5], on peut prendre u0=π/2+0.5
6/ Convergence linéaire pour le point fixe, quadratique pour Newton. Calcul de quelques valeurs de un pour illustrer, avec u0=π/2+0.5
Point fixe: 2.0708, 2.0096, 2.0234, 2.0204, 2.0210, ...
Newton: 2.0708, 2.0214, 2.02097997, 2.0297993809, 2.0297993809, ...
II/
110∑9j=0f((j+.5)/10)
Code : Tout sélectionner
1/10*sum(exp(-((j+.5)/10)^2),j,0,9)f′′(x)=(4x2−2)e−x2,f[3](x)=−8x(x+√6/2)(x−√6/2) donc la dérivée seconde atteint son maximum en valeur absolue à l'une des extrémités de l'intervalle (pas de racine de la dérivée troisième), ici en 0, M2=2, l'erreur est donc majorée par 2∗1/N2∗(1−0)/24=8.3e−4
On peut vérifier avec
Code : Tout sélectionner
integrate(exp(-x^2),x,0,1.0)III/ 1/ 1.0000000333 et 3.33333284304e-8
2/ erreur d'arrondi (absolue ou relative ici) sur y=1+x: 2^(-48). Erreur absolue sur y-1 (en négligeant l'erreur d'arrondi): 2^(-48), donc erreur relative (théorique) sur y-1: 2^(-48)/(1/3*1e-7) soit environ 1e-7, ceci se vérifie expérimentalement en calculant ((1+1/3*1e-7)-1)/(1/3*1e-7)-1 qui renvoie -1.3e-7.
3/ T2(x)=x−x2/2. Pour cette valeur de x, cela donne 3.33333327778
4/ Le développement en série de ln(1+x) est une série alternée pour x∈[0,1[ donc l'erreur absolue (en négligeant les erreurs d'arrondi) vérifie |T2(x)−ln(x)|≤x3/3 soit 1.2e-23, ce qui donne une erreur relative (en divisant par x) de 3.7e-16.
5/ Cette dernière erreur est bien meilleure qu'à la question 2.Donc on choisit l2.
6/ Non, inutile d'aller à l'ordre 3, car 3.7e-16 est déjà plus petit que 2^(-48)=3.5e-15 environ