indications correction mai 2023

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parisse
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indications correction mai 2023

Message par parisse » dim. mai 28, 2023 8:01 pm

1.1
1/ ln(1+t) = sum((-1)^n*t^(n+1)/(n+1),n=0..inf) rayon de convergence 1 (d'Alembert)
donc ln(1+t)/t = sum((-1)^n*t^n/(n+1),n=0..inf) R=1
2/ donc F(x)=sum((-1)^n*x^(n+1)/(n+1)^2,n=0..inf) R=1
3/ Pour 0<=x<=1, c'est une série alternée, donc le reste d'ordre N est majore en valeur absolue par le premier terme non inclus soit x^(N+2)/(N+2)^2
4/ Si x<=1/2, le majorant du reste est (1/2)^(N+2)/(N+2)^2,
pour N=8, c'est plus petit que 1e-5.
5/ sum((-1)^n*x^(n+1)/(n+1)^2,n,0,8)=728999303/1625702400 valeur approchee 0.44842
on peut vérifier avec integrate(ln(1+t)/t,t=0..0.5)
6/ si x=1, la série est encore alternée sum((-1)^n/(n+1)^2,n=0..inf) donc convergente mais la convergence est beaucoup plus lente, par exemple pour avoir une précision de 1e-5, on prendra N tel que 1/(N+2)^2<=1e-5 soit N>=sqrt(1e5)-2=314.2. Et ce serait bien pire pour une précision de par exemple epsilon=1e-10, car (1/2)^N tend vers 0 à vitesse géométrique (il faut un nombre d'itérations en ln(epsilon)) alors que 1/N^2 tend vers 0 lentement (en sqrt(epsilon)). D'où l'intéret d'avoir d'autres méthodes numériques, comme ci-dessous.

1.2
1/ On pose f2:=f''; f3:=f2';
On observe si on trace le graphe de f2 que le maximum en valeur absolue est atteint en x=1/2 mais ce n'est pas une preuve. On peut très bien se contenter d'une majoration non optimale (en majorant chaque partie en valeur absolue). Ainsi avec f2 sous forme factorisée:
(2*ln(1+x)*x^2+4*ln(1+x)*x+2*ln(1+x)-3*x^2-2*x)/(x^3*(x+1)^2)
le dénominateur est minimal en x=1/2 où il vaut 1/8*9/4=9/32 et le numérateur est majoré en 1 par ln(1+x)*(2x^2+4x+2)<=ln(2)*8 et minoré par -5, d'où une majoration en valeur absolue par 32/9*8*ln(2)<20.
Pour une majoration optimale correspondant à l'observation sur le graphe de f2, il faut travailler un peu plus.
En utilisant partfrac puis factor sur la partie rationnelle (partfrac(f'') puis sélection avec les flèches de curseur puis F1 factor), on obtient pour f2
2*ln(1+x)/x^3+(-3*x-2)/(x^2*(x+1)^2)
De même pour f3:
-6*ln(1+x)/x**4+(11*x**2+15*x+6)/(x**3*(x+1)**3)
On pouvait prévoir que le terme qui contient du ln dans f2 ou f3 est à une constante près 1/x^3 ou 1/x^4, car il est obtenu en dérivant 2 ou 3 fois 1/x. En multipliant f3 par x^4, on ne change pas le fait que f3 s'annule sur [1/2,1], or en dérivant x^4*f3 on va éliminer le ln et se retrouver avec une fraction rationnelle, ici -6x^3/(x+1)^4 qui est <0 sur [1/2,1] donc x^4*f3 est décroissant sur [1/2,1] avec (x^4*f'3)(x=.5)<0 donc x^4*f3 est négative sur [1/2,1].
f3 est donc négative donc f3 est décroissante donc |f2| atteint son maximum en 1/2 ou en 1, on calcule f2(x=.5) et f2(x=1.) et on voit que le maximum est atteint en .5 et vaut 0.27 environ, on peut prendre par exemple M2=0.3.
2/ Le point milieu approche avec une erreur inférieure ou égale à M2/24*h^2*(1-1/2) avec h=1/2/N, donc il suffit que 0.3/24*1/4/n^2*1/2<1e-5
soit n^2>=1e5*0.3/24/4/2, donc n=13 suffit.
3/ Pour Simpson, il faut calculer la dérivée 4ième f4 et 5ième f5 pour les variations de la dérivée 4ième. On obtient pour la dérivée 5ième
-120*ln(1+x)/x**6+2*(137*x**4+385*x**3+470*x**2+270*x+60)/(x**5*(x+1)**5)
en multipliant par x^6 et en dérivant on obtient après factorisation -120*x**5/(x+1)**6 qui est négative sur [1/2,1] donc x^6*f5 est décroissante, et négative en 0.5 donc f5 et négative et f4 est décroissante sur [1/2,1].
f4(x=0.5)=0.87... et f4(x=1.)=0.26.. donc on peut prendre M4=0.9
4/ Il suffit que M4/2880*h^4*1/2<=1e-5 soit n^4>=M4*1e5/2880/2^4/2 soit
n>=(0.9*1e5/2880/2^4/2)^(1/4)=0.99
1 subdivisions de Simpson suffit donc.
5/ Avec Simpson sur 1 subdivision la valeur approchée de l'intégrale est
1/2*1/6*(f(x=.5)+4*f(x=.75)+f(x=1)) = 0.3740579
on vérifie avec integrate(ln(1+t)/t,t=0.5..1) = 0.3740528265

2/
1/ P'=4x^3+1, P''=12x^2>=0
P' s'annule une seule fois en -(1/4)^(1/3) et en ce point P est négative (ou bien on observe que P(x=0)<0), donc P s'annule 2 fois sur R (tableau de variations)
2/ P(x=1)>0 et P(x=0)<0 donc P s'annule entre 0 et 1, de plus sur cet intervalle P est croissante et convexe donc en partant de u0=1, on aura une suite décroissante vers la racine de P qui est positive.
3/ P:=x^4+x-1; P1:=P';
g:=unapply(x-P/P',x)
u4:=(g@@4)(1) est un rationnel
(29320617865246392548086254468072285700454577805457953/40470590928568947906291265653061349515663893770099745)
dont une valeur approchée est 0.724491962991
evalf(P(x=u4)/P1(x=u4)) donne 4e-9 donc en multipliant par le degré de P, l'écart |u4-r| est inférieur à 1.6e-8. On peut aussi utiliser le théorème des accroissements finis.
4/ P=(x-r)Q, on dérive P'=Q+(x-r)Q' et on divise par P
P'/P=Q/P+(x-r)Q'/((x-r)*Q)=1/(x-r)+Q'/Q
on peut aussi observer qu'il s'agit d'une dérivée logarithmique (dérivée de ln(P))
On peut effectuer une étape de la méthode de Newton sur Q en faisant
U_{n+1}=u_n-1/((P'/P)(u_n)-1/(u_n-r))
5/ La méthode de Horner donne le quotient et le reste de la division de P par x-r,
Q est le quotient.
Elle nécessite plus de calculs faisant intervenir la valeur approchée de r que le calcul précédent (qui ne fait intervenir r qu'une seule fois), et donnera donc des résultats plus précis.

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