1/ sinus est entre -1 et 1, donc \(f(x) \in [y-a,y+a]\). De plus \(f'(x)=a\cos(x)\) donc \(|f'| \leq a<1\). On en déduit que \(f\) est contractante de rapport \(a\).
2/ On a \(|u_n-l|\leq a^n 2a\), il suffit que \(2a^{n+1} \leq \epsilon\) soit \(n>=ln(\epsilon/2)/ln(a)-1\)
3/ a<0.5
4/ \(u_{n+1}=u_n-g(u_n)/g'(u_n)\)
5/ \(g'(x)=1-a\cos(x), g'{'}(x)=a\sin(x)\) donc \(g\) est croissante et convexe sur \([\pi/2-0.5,\pi/2+0.5]\), on peut prendre \(u_0=\pi/2+0.5\)
6/ Convergence linéaire pour le point fixe, quadratique pour Newton. Calcul de quelques valeurs de \(u_n\) pour illustrer, avec \(u_0=\pi/2+0.5\)
Point fixe: 2.0708, 2.0096, 2.0234, 2.0204, 2.0210, ...
Newton: 2.0708, 2.0214, 2.02097997, 2.0297993809, 2.0297993809, ...
II/
\(\frac{1}{10}\sum_{j=0}^9 f((j+.5)/10)\)
Code : Tout sélectionner
1/10*sum(exp(-((j+.5)/10)^2),j,0,9)\(f'{'}(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}, f^{[3]}(x)=-8x(x+\sqrt{6}/2)(x-\sqrt{6}/2)\) donc la dérivée seconde atteint son maximum en valeur absolue à l'une des extrémités de l'intervalle (pas de racine de la dérivée troisième), ici en 0, \(M_2=2\), l'erreur est donc majorée par \(2*1/N^2*(1-0)/24=8.3e-4\)
On peut vérifier avec
Code : Tout sélectionner
integrate(exp(-x^2),x,0,1.0)III/ 1/ 1.0000000333 et 3.33333284304e-8
2/ erreur d'arrondi (absolue ou relative ici) sur y=1+x: 2^(-48). Erreur absolue sur y-1 (en négligeant l'erreur d'arrondi): 2^(-48), donc erreur relative (théorique) sur y-1: 2^(-48)/(1/3*1e-7) soit environ 1e-7, ceci se vérifie expérimentalement en calculant ((1+1/3*1e-7)-1)/(1/3*1e-7)-1 qui renvoie -1.3e-7.
3/ \(T_2(x)=x-x^2/2\). Pour cette valeur de x, cela donne 3.33333327778
4/ Le développement en série de \(ln(1+x)\) est une série alternée pour \(x\in[0,1[\) donc l'erreur absolue (en négligeant les erreurs d'arrondi) vérifie \(|T_2(x)-\ln(x)| \leq x^3/3\) soit 1.2e-23, ce qui donne une erreur relative (en divisant par x) de 3.7e-16.
5/ Cette dernière erreur est bien meilleure qu'à la question 2.Donc on choisit \(l_2\).
6/ Non, inutile d'aller à l'ordre 3, car 3.7e-16 est déjà plus petit que 2^(-48)=3.5e-15 environ