I.1.1/ sin(x) est croissante sur I, donc 1/sin(x) décroit de 1/sin(1) à 1, tous deux appartiennent à I, l'image de I est donc contenue dans I. La dérivée de f est -cos(x)/sin(x)^2, sa dérivée seconde est diff(1/sin(x),x,2)=\(\frac{2\cos(x)^2+\sin(x)^2}{\sin(x)^3}\)
donc positive, donc f' est négative croissante, en valeur absolue son maximum est atteint en x=1 et vaut \(k=\frac{\cos(1)}{\sin(1)^2}\approx 0.76<1\) donc f est contractante sur I
I.1.2/ Il suffit que \(k^n(\pi/2-1)<\varepsilon\), soit \(n>\frac{\ln\left(\frac{\varepsilon}{\pi/2-1}\right)}{\ln(k)}\)
I.1.3/ Avec epsilon=1e-3, on trouve n>23.47 donc 24 itérations suffisent. s_1=1.114...
I.1.4/ f'(s_1) est proche de -0.54, donc lorsque n tend vers l'infini, la constante de contractance effective tend vers 0.54, qui est un peu supérieur à 0.5, la dichotomie est donc légèrement plus efficace (mais c'est très proche...).
I.1.5/ La dérivée de g (g1:=g') vaut sin(x)+x*cos(x). La dérivée seconde de g vaut 2cos(x)-x*sin(x), et est donc négative sur J, donc g' décroit de g1(x=5pi/6)=1/2-5*sqrt(3)*pi/12 (proche de -1.76) à g1(x=pi)=-pi. g est donc strictement décroissante entre g(x=5*pi/6)=5*pi/12-1 proche de 0.3 et g(x=pi)=-1, donc g s'annule une unique fois sur J en s_2.
I.1.6/ f'(x=5*pi/6) vaut 2*sqrt(3)>1 et f' est croissante sur J, donc f'(s_2)>1, la fonction f ne peut pas etre contractante sur un intervalle contenant s_2.
I.2.1/ u_{n+1}=u_n-g(u_n)/g'(u_n)
I.2.2/ Cf. question I.1.5, g' et g'' sont négatifs
I.2.3/ g est donc concave décroissante, on peut prendre u_0 dans l'intervalle [s_2,pi], par exemple u_0=pi, d'autres valeurs conviennent, par exemple 3 (g(3.0)<0).
I.2.4/ En prenant u_0=pi, on obtient u_1=2.82..., u_2=2.774..., u_3=2.7726062...
On a \(|u_3-s_2|<|\frac{g(u_3)}{g'(\theta)}|\) avec \(\theta\) entre s_2 et u_3, comme |g'| croit, 1/|g'| décroit donc
\(|\frac{g(u_3)}{g'(\theta)}|<|\frac{g(u_3)}{g'(5\pi/6)}|=1.9e-6.\)
II.1/ Il y avait une erreur évidente d'énoncé: il fallait lire n plus grand que 3 (et non plus petit).
Pour appliquer le critère des séries alternées, on doit avoir décroissance du terme général sans le signe, ce qui peut se vérifier en faisant le rapport u_{j+1}/u_j et en comparant à 1. Le rapport vaut x^2/(2j+2)/(2j+3) avec x=7, donc pour j>=n>=3, ce rapport est bien strictement inférieur à 1.
On peut aussi appliquer le reste de Taylor, la dérivée n-ieme de sin est sin ou cos dont la valeur absolue est majorée par 1.
On obtient ainsi
\(|R_n(7)|<=u_{n+1}(7)=\frac{7^{2n+3}}{(2n+3)!}\)
II.2/ La commande
Code : Tout sélectionner
seq(7.^(2n+3)/(2n+3)!,n,0,15)57, 140, 163, 111, 50, 16, 3.6, 0.65, 0.09, 0.01, 0.001, ...
Donc pour n=10, |R_n(7)| devient 1e-2.
II.3/ S_{10}(7)= en calcul exact
Code : Tout sélectionner
s1:=sum((-1)^j*7^(2j+1)/(2j+1)!,j,0,10)En calcul approché
Code : Tout sélectionner
s2:=sum((-1)^j*7.0^(2j+1)/(2j+1)!,j,0,10)II.4/ Le rapport entre le plus grand terme de la somme et la somme est d'une centaine environ (163/0.66=247), on s'attend donc à perdre environ 2 décimales en faisant le calcul approché par rapport à l'approximation du calcul exact.
Le calcul de s1-s2 donne 5e-13, Xcas calcule par défaut avec 48 bits de mantisse, cela correspond bien: (s1-s2)*2^48 vaut 146.
II.5/ En utilisant la périodicité du sinus, on peut se rapprocher de 0 où le développement du sin converge beaucoup plus vite: sin(7)=sin(7-2*pi) avec 7-2*pi=0.72..