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https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... 06et25.pdf

Exo 1:
1/ En utilisant le calcul formel,
abcuv(x^2-2x+2,x^2+2x+2,x^2-2)
on obtient une solution U=-1/2x-1/2 et V=1/2x-1/2.
En détaillant les calculs:
\(x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)\)
algorithme de Bézout,
\(L_0 \quad x^2-2x+2, \ 1, \ 0\)
\(L_1 \quad x^2+2x+2, \ 0, \ 1\)
première division euclidienne, quotient 1, donc on fait \(L_2=L_0-L_1\)
\(L_2 \quad -4x, \ 1, \ -1\)
deuxième division euclidienne, on fait \(L_3=L_1+(x/4+1/2)L_2\)
\(L_3 \quad 2, \ (x/4+1/2), \ (-x/4+1/2)\)
On multiplie par (x^2-2)/2 ce qui donne un couple de solutions
\(U=(x/4+1/2)(x^2-2)/2, \quad V=(-x/4+1/2)(x^2-2)/2\)
On peut aussi prendre le reste de U par x^2+2x+2 et de V par x^2-2x+2 ce qui donne une autre solution plus simple, celle renvoyée par abcuv:
rem((x/4+1/2)*(x^2-2)/2,x^2+2x+2)=(-x-1)/2
rem((-x/4+1/2)*(x^2-2)/2,x^2-2x+2)=(x-1)/2

2/ Donc f(x)=U/(x^2+2x+2)+V/(x^2-2x+2), et on reconnait à une constante multiplicative près une forme u'/u,
3/ Donc F(x)=-1/4*ln(x^2+2*x+2)+1/4*ln(x^2-2*x+2) et F(1)-F(0)=-ln(5) environ -0.402

exo 2:
1/ f:=(x^2-2)/(x^4+4);
f2:=simplify(f'');
proot(f2') renvoie 2 racines dans [0,1]: 0 et environ 0.56282224605, on calcule donc f2(x=0), f2(x=0.56282224605) et f2(1), la plus grande des trois en valeur absolue est en 0.56282224605, un peu moins de 0.75, on peut donc prendre M2=0.75

2/ on cherche le plus petit N tel que M2/24*(1-0)/N^2<1e-2, N=2 convient, pas h=1/N=1/2.
Valeur approchée correspondante 1/2*(f(x=1/4)+f(x=3/4))=-92528/226525 environ -0.408

3/Oui, puisque M2 est valable sur [0,t] et le pas sera plus petit que celui pour t=1.

Exo 3:
1/ P:=normal(interp([0,1/2,1],x->(x^2-2)/(x^4+4))) renvoie P=21/65*x^2-3/130*x-1/2
On peut aussi faire à la main l'algorithme des différences divisées, f(0)=-1/2, f(1/2)=-28/65, f(1)=-1/5, mais les calculs avec les rationnels sont un peu pénibles...

2/ La dérivée 4-ième de f s'annule en 0.33... et 0.99..., il faut donc calculer la dérivée 3-ième en ces 2 points et en 0 et 1, et prendre le max en valeur absolue, qui vaut 3.0337...

3/ Majoration de l'erreur d'interpolation en M_3/3!*abs(x*(x-1/2)*(x-1))

4/ Majoration de l'erreur integrale(f-P) par M_3/3!*integrate(abs(x*(x-1/2)*(x-1)),x,0,1), M_3/3!*1/32 environ 0.015
integrate(P,x,0,1) donne -21/52=-0.403.. donc erreur integrate(P,x,0,1)+ln(5)/4. environ 0.00148 est bien majorée par 0.015 avec une majoration un peu grossière, on perd un facteur 10.

5/ On approche par une parabole en les points 0, 1/2 et 1 : c'est la méthode de Simpson avec une subdivision sur [0,1] donc on a une majoration par M_4/2880, on trouve M_4 environ 10 en suivant la même méthode que pour calculer M_3, d'où une erreur majorée par 0.0034 environ, plus proche de l'erreur réellement observée

Exo 4:
2/ F_n=-1/2*(-1)^n/4^n/(4n+1), G_n=(-1)^n/4/4^n/(4n+3)
4/ Majoration par |F_(N+1)|+|G_(N+1)| <= 3/4/4^(N+1)/(4(N+1)+1)*t^(4n+1)
N=1 convient pour etre inférieur à 1e-2 en t=1
5/ sum(-1/2*(-1)^n/4^n/(4n+1)+(-1)^n/4/4^n/(4n+3),n,0,1) renvoie -673/1680 environ -0.4005
6/ oui, car t^(4n+1)<=1