indications correction juin2025

[parisse]

https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... juin25.pdf

1.1/ P'=5x^4+1>0, P(x=0)<0 et P(x=2)>0
1.2/ x-P/P'
1.3/ P''=20x^3, P est convexe sur R^+, donc u0=2 convient
1.4/ pour u0=2,
p:=x^5+x-3; f:=unapply(x-p/p',x); u4:=(f@@4)(2.0) renvoie 1.13705435845
p(x=u4) renvoie 0.0377...
1.5/ TAF |u4-r|=|P(u_4)-P(r)|/|P'(theta)|<0.038/|P'(1)|=0.038/6=0.63e-2, 2 décimales correctes, ce qu'on peut vérifier avec f(u4) qui a 2 décimales communes avec u4
1.6/ On additionne x^5+x, 2 nombres positifs, pas de perte de précision (à part erreur d'arrondi), puis on retranche 3 pour aboutir à un réel proche de 3e-2, donc on a soustrait 2 réels d'ordre de grandeur 1, proches à 1e-2 près, on perd donc 2 décimales significatives, il en reste 13 correctes sur 15.
1.7/ f'(r)=-5*r^4 est en valeur absolue plus grand que 1 donc le point fixe ne peut pas converger.

2 1/
f:=sin(x^3)
10*sum(f(x=1./20+j/10),j,0,9) renvoie 0.233162237825
f2:=f''; normal(f2) renvoie -9*x^4*sin(x^3)+6*x*cos(x^3)
Sur [0,1] on peut majorer |f2| par M2=15.
On peut aussi calculer f2' pour faire le tableau de variation de f2.
tabvar(f2,x=0..1) fait apparaitre un max en 0.6... valant 3.32 et un min en 1 valant -9sin(1)+6cos(1)=-4.33... donc |f2|<M2=4.4
Erreur <= M2/24*1/100 < 2e-3

3.1 sum((-1)^n*t^(6n+3)/(2n+1)!,n,0,inf)=t^3-t^9/3!+...
R=inf
3.2 sum((-1)^n*x^(6n+4)/(2n+1)!/(6n+4),n,0,inf)
3.3 le terme général décroit vers 0 de manière évidente. Donc erreur<=1/(2N+3)!/(6N+10)
3.4 on calcule le rapport entre 2 termes successifs en valeur absolue
u(n):=2^(6n+4)/(2n+1)!/(6n+4)
r:=simplify(u(n+1)/u(n)) renvoie (96*n+64)/(6*n^3+25*n^2+34*n+15)
puis fsolve(r=1,n), changement de signe en 2.2... donc pour n>2 c'est bon et r(n=2)=256/231 est >1, donc n=3.
3.5 On veut u(n)<1e-2, fsolve(u(n)=1e-2,n) renvoie 9.72 donc N=9 (1er terme non sommé n=10).
3.6 sum((-1)^n*2^(6n+4)/(2n+1)!/(6n+4),n,0,9) renvoie 7192742647865948/16094736719436375, en valeur approchée 0.4469, on vérifie que l'écart avec integrate(sin(x^3),x,0,2.0) est bien < 1e-2
3.7 max(seq(2.0^(6n+4)/(2n+1)!/(6n+4),n,0,9) renvoie 37 pour un résultat de 0.44, donc on a perdu 2 décimales significatives.