Cours 1 et 2/13 (mercredi 3/9 et vendredi 5/9)
Présentation du module.
1er chapitre Courbes paramétrées:
Motivation: graphes de fonction insuffisant, cinématique
Définition de courbe paramétrée sur un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Cas particulier t=x pour les fonctions. Différentes paramétrisations possibles pour une meme courbe géométrique
Propriétés géométriques (indépendantes de la paramétrisation) vs cinématiques, par ex. tangente et vitesse.
Plan étude, généralisation des graphes de fonctions
1/ domaine de définition, 2/ domaine d'étude: restriction par parité ou/et périodicité, 3/ étude aux bornes de l'intervalle, asymptote, 4/ recherche des variations (f' pour les courbes), 5/ raffinement optionnel: convexité, 6/ tableau de variations 7/ tracé.
Exemple y=f(x)=sqrt(x^4+1)/x
Passage aux courbes paramétrées:
1/ Domaine,
2/ domaine d'étude, restriction du domaine d'étude par parité, par périodicité. Exemple pour x=cos(t), y=sin(3t)
3/ Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini. Recherche d'asymptote oblique si x et y tendent vers l'infini.
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1), recherche des asymptotes obliques en t=-+inf (branche para) et t=-1/2 x+y=-3/4
4/ Etude locale en t0
La tangente est portée par la vitesse si elle est non nulle/point régulier.
Si x'=0 ou y'=0 tangente verticale ou horizontale.
Def point singulier. Si l'accélération est non nulle la tangente est portée par l'accélération pour un point singulier et on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus accélération (-8,10)
Double tableau de variations et tracé de l'exemple. Il y a forcément un point d'inflexion t>0 (apres la tangente verticale).
Vérification avec Xcas. On voit t=1/2 en plus dans le tableau de variations, qui est le point d'inflexion.
L'appel à plotparam crée automatiquement des variables x1, y1, x2, y2 qui contiennent les valeurs des dérivées 1ères et seconde de x(t) et y(t), utiles pour l'étude analytique.
Point d'inflexion: on traverse la tangente ou la pente change de sens de variation: m=y'/x', m'=0 inflexion analytique y''*x'-x''*y'=0
Je reviendrais là-dessus en terme de repère vitesse, accélération pour un point bi-régulier et cas des points singuliers au début du prochain cours.
Problème de vidéoprojection mercredi, ce vendredi ça marchait, j'en ai profité pour montrer les limites de l'intelligence artificielle: j'ai mis en garde sur les erreurs de calcul des modèles LLM en leur montrant le calcul du 1er terme du DL de sin(tanh(x))-tanh(sin(x)) avec les versions navigateur de chatgpt, claude et gemini : ils renvoient tous un résultat faux. Mais l'IA peut quand meme etre utile: par exemple pour donner la commande Xcas pour faire un calcul de DL!
mat307 2025/26
Modérateur : xcasadmin
Re: mat307 2025/26
cours 3 du 11 septembre:
Calcul à la machine pour la convexité
Point birégulier: (vitesse, accélération) forme un repère. Si det(v,a)!=0, point birégulier, >0 convexe, <0 concave, on retrouve le critère de la pente de la tangente croissante ou décroissante. Ecriture des coordonnées dans le repère vitesse, accélération, on ne traverse pas la tangente.
Point singulier: vitesse nulle, on regarde si accélération, dérivée 3ème forment un repère. Si oui, coordonnées en (h^2,h^3)+o(h^3) rebroussement 1ère espèce. Si non, chercher les 2 premières dérivées qui donnent un repère.
Exemple ci-dessus en t=-1, au lieu de calculer les dérivées 2nde et 3èmes on calcul le DL en posant t=-1+h
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Courbes en polaires:
définition, attention r(theta) peut être négatif
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3
Branches infinies: si theta=+/-inf est dans le domaine d'étude on peut avoir un cercle ou un point asymptote. En un theta0 fini, si r tend vers l'infini, on recherche une asymptote, repère tourné, calcul de limite r*sin(theta-theta0)
Calcul à la machine pour la convexité
Code : Tout sélectionner
x0:=2t+1/(2t+1); y0:=t^2-1/(2t+1);
plotparam([x0,y0],t);
factor(x1*y2-x2*y1);
[x0,y0](t=1/2); [x1,y1](t=1/2);
Point singulier: vitesse nulle, on regarde si accélération, dérivée 3ème forment un repère. Si oui, coordonnées en (h^2,h^3)+o(h^3) rebroussement 1ère espèce. Si non, chercher les 2 premières dérivées qui donnent un repère.
Exemple ci-dessus en t=-1, au lieu de calculer les dérivées 2nde et 3èmes on calcul le DL en posant t=-1+h
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Courbes en polaires:
définition, attention r(theta) peut être négatif
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3
Branches infinies: si theta=+/-inf est dans le domaine d'étude on peut avoir un cercle ou un point asymptote. En un theta0 fini, si r tend vers l'infini, on recherche une asymptote, repère tourné, calcul de limite r*sin(theta-theta0)