Cours 1 et 2/13 (mercredi 3/9 et vendredi 5/9)
Présentation du module.
1er chapitre Courbes paramétrées:
Motivation: graphes de fonction insuffisant, cinématique
Définition de courbe paramétrée sur un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Cas particulier t=x pour les fonctions. Différentes paramétrisations possibles pour une meme courbe géométrique
Propriétés géométriques (indépendantes de la paramétrisation) vs cinématiques, par ex. tangente et vitesse.
Plan étude, généralisation des graphes de fonctions
1/ domaine de définition, 2/ domaine d'étude: restriction par parité ou/et périodicité, 3/ étude aux bornes de l'intervalle, asymptote, 4/ recherche des variations (f' pour les courbes), 5/ raffinement optionnel: convexité, 6/ tableau de variations 7/ tracé.
Exemple y=f(x)=sqrt(x^4+1)/x
Passage aux courbes paramétrées:
1/ Domaine,
2/ domaine d'étude, restriction du domaine d'étude par parité, par périodicité. Exemple pour x=cos(t), y=sin(3t)
3/ Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini. Recherche d'asymptote oblique si x et y tendent vers l'infini.
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1), recherche des asymptotes obliques en t=-+inf (branche para) et t=-1/2 x+y=-3/4
4/ Etude locale en t0
La tangente est portée par la vitesse si elle est non nulle/point régulier.
Si x'=0 ou y'=0 tangente verticale ou horizontale.
Def point singulier. Si l'accélération est non nulle la tangente est portée par l'accélération pour un point singulier et on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus accélération (-8,10)
Double tableau de variations et tracé de l'exemple. Il y a forcément un point d'inflexion t>0 (apres la tangente verticale).
Vérification avec Xcas. On voit t=1/2 en plus dans le tableau de variations, qui est le point d'inflexion.
L'appel à plotparam crée automatiquement des variables x1, y1, x2, y2 qui contiennent les valeurs des dérivées 1ères et seconde de x(t) et y(t), utiles pour l'étude analytique.
Point d'inflexion: on traverse la tangente ou la pente change de sens de variation: m=y'/x', m'=0 inflexion analytique y''*x'-x''*y'=0
Je reviendrais là-dessus en terme de repère vitesse, accélération pour un point bi-régulier et cas des points singuliers au début du prochain cours.
Problème de vidéoprojection mercredi, ce vendredi ça marchait, j'en ai profité pour montrer les limites de l'intelligence artificielle: j'ai mis en garde sur les erreurs de calcul des modèles LLM en leur montrant le calcul du 1er terme du DL de sin(tanh(x))-tanh(sin(x)) avec les versions navigateur de chatgpt, claude et gemini : ils renvoient tous un résultat faux. Mais l'IA peut quand meme etre utile: par exemple pour donner la commande Xcas pour faire un calcul de DL!
mat307 2025/26
Modérateur : xcasadmin
Re: mat307 2025/26
cours 3 du 11 septembre:
Calcul à la machine pour la convexité
Point birégulier: (vitesse, accélération) forme un repère. Si det(v,a)!=0, point birégulier, >0 convexe, <0 concave, on retrouve le critère de la pente de la tangente croissante ou décroissante. Ecriture des coordonnées dans le repère vitesse, accélération, on ne traverse pas la tangente.
Point singulier: vitesse nulle, on regarde si accélération, dérivée 3ème forment un repère. Si oui, coordonnées en (h^2,h^3)+o(h^3) rebroussement 1ère espèce. Si non, chercher les 2 premières dérivées qui donnent un repère.
Exemple ci-dessus en t=-1, au lieu de calculer les dérivées 2nde et 3èmes on calcul le DL en posant t=-1+h
======================
Courbes en polaires:
définition, attention r(theta) peut être négatif
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3
Branches infinies: si theta=+/-inf est dans le domaine d'étude on peut avoir un cercle ou un point asymptote. En un theta0 fini, si r tend vers l'infini, on recherche une asymptote, repère tourné, calcul de limite r*sin(theta-theta0)
Calcul à la machine pour la convexité
Code : Tout sélectionner
x0:=2t+1/(2t+1); y0:=t^2-1/(2t+1);
plotparam([x0,y0],t);
factor(x1*y2-x2*y1);
[x0,y0](t=1/2); [x1,y1](t=1/2);
Point singulier: vitesse nulle, on regarde si accélération, dérivée 3ème forment un repère. Si oui, coordonnées en (h^2,h^3)+o(h^3) rebroussement 1ère espèce. Si non, chercher les 2 premières dérivées qui donnent un repère.
Exemple ci-dessus en t=-1, au lieu de calculer les dérivées 2nde et 3èmes on calcul le DL en posant t=-1+h
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Courbes en polaires:
définition, attention r(theta) peut être négatif
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3
Branches infinies: si theta=+/-inf est dans le domaine d'étude on peut avoir un cercle ou un point asymptote. En un theta0 fini, si r tend vers l'infini, on recherche une asymptote, repère tourné, calcul de limite r*sin(theta-theta0)
Re: mat307 2025/26
Cours du 18/9 (4/13)
Calculatrices: survol des possibilités (lancement, menus rapides F1/F2/F3, menu complet F4, aide/exemple...), tutoriel la prochaine fois
Courbes en polaires (fin): branche infinie avec lim r*sin(theta-theta0)
étude locale
Calcul de la "vitesse" r'*e_r+r*e_theta
Attention vitesse cinématique, multiplier par d theta/dt
Point régulier tan(V)=r/r', V=(e_r,tangente), pi/2 si r'=0
Point singulier si r=r'=0, en l'origine uniquement. Tangente portée par e_r. Rebroussement génériquement, cas général selon la parité de la 1ère dérivée de r qui s'annule.
Inflexion analytique: 1/r+(1/r)''=0
Exemple 1/(1+2*cos(theta)))
Complément sur les coniques, définies comme r(theta)=A/(1+e*cos(theta)), e=excentricité, e=2 exemple étudié précédemment, e=0 cercle.
e<1: ellipse
Equation cartésienne : c'est un cercle en x,Y si on pose Y=y/sqrt(1-e^2), demi-grand axe a=A/(1-e^2), dont le centre est décalé en abscisse de l'origine de a*e.
Lien avec la physique : lois de Kepler. Pour la Terre, e=0.0167 et theta=0 vers le 3 ou le 4 janvier.
En climatologie: un mot sur l'explication astronomique des glaciations du quaternaire (théorie de Milankovitch)
Calculatrices: survol des possibilités (lancement, menus rapides F1/F2/F3, menu complet F4, aide/exemple...), tutoriel la prochaine fois
Courbes en polaires (fin): branche infinie avec lim r*sin(theta-theta0)
étude locale
Calcul de la "vitesse" r'*e_r+r*e_theta
Attention vitesse cinématique, multiplier par d theta/dt
Point régulier tan(V)=r/r', V=(e_r,tangente), pi/2 si r'=0
Point singulier si r=r'=0, en l'origine uniquement. Tangente portée par e_r. Rebroussement génériquement, cas général selon la parité de la 1ère dérivée de r qui s'annule.
Inflexion analytique: 1/r+(1/r)''=0
Exemple 1/(1+2*cos(theta)))
Complément sur les coniques, définies comme r(theta)=A/(1+e*cos(theta)), e=excentricité, e=2 exemple étudié précédemment, e=0 cercle.
e<1: ellipse
Equation cartésienne : c'est un cercle en x,Y si on pose Y=y/sqrt(1-e^2), demi-grand axe a=A/(1-e^2), dont le centre est décalé en abscisse de l'origine de a*e.
Lien avec la physique : lois de Kepler. Pour la Terre, e=0.0167 et theta=0 vers le 3 ou le 4 janvier.
En climatologie: un mot sur l'explication astronomique des glaciations du quaternaire (théorie de Milankovitch)
Re: mat307 2025/26
Cours 5 (sur 13) du 25 septembre
Propriétés métriques des courbes (début):
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantanée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt
Exemple: segment, arc de cercle, arc de parabole (t,t^2/2)
Remarque: il n'y a pas souvent de formule explicite -> calcul approché à la machine en donnant une des bornes sous forme d'un nombre approché (1.0 au lieu de 1 par exemple): integrate(sqrt(1+t^2),t,0,1.0)
Remarque: ne dépend pas du paramétrage choisi
Paramétrage par s, abscisse curviligne. Vecteur vitesse=vitesse scalaire*vecteur tangent, vecteur tangent=dM/ds.
Calcul de l'accélération d2M/dt^2, formule a=dv/dt*T+v^2*dT/ds
dT/ds est orthogonal a T, dT/ds= kappa * N, kappa la courbure et N le vecteur normal tel que (M,T,N) soit orthonormé direct, c'est le repère de Frenet. Rayon de courbure=abs(1/kappa)
Formules pour le calcul de la courbure/rayon de courbure et repère de Frenet en paramétriques en un point non singulier.
Exemple: cercle et justification du nom rayon de courbure, arc de parabole. Visualisation du vecteur tangent, de la normale et du cercle osculateur.
Tutoriel d'utilisation de la calculatrice: plotparam et visualisation du cercle osculateur (F4, F5 sur calculatrices). En utilisant plotparam, la calculatrice définit des variables x0,x1,x2,y0,y1,y2 contenant x(t) et ses dérivées et y(t) et ses dérivées, ce qui permet facilement de vérifier les points d'inflexion solve(x1*y2-x2*y1=0) ou calculer la courbure. En polaire utiliser expression => R puis plotpolar(R) puis solve(1/R+(1/R)''=0)
Propriétés métriques des courbes (début):
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantanée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt
Exemple: segment, arc de cercle, arc de parabole (t,t^2/2)
Remarque: il n'y a pas souvent de formule explicite -> calcul approché à la machine en donnant une des bornes sous forme d'un nombre approché (1.0 au lieu de 1 par exemple): integrate(sqrt(1+t^2),t,0,1.0)
Remarque: ne dépend pas du paramétrage choisi
Paramétrage par s, abscisse curviligne. Vecteur vitesse=vitesse scalaire*vecteur tangent, vecteur tangent=dM/ds.
Calcul de l'accélération d2M/dt^2, formule a=dv/dt*T+v^2*dT/ds
dT/ds est orthogonal a T, dT/ds= kappa * N, kappa la courbure et N le vecteur normal tel que (M,T,N) soit orthonormé direct, c'est le repère de Frenet. Rayon de courbure=abs(1/kappa)
Formules pour le calcul de la courbure/rayon de courbure et repère de Frenet en paramétriques en un point non singulier.
Exemple: cercle et justification du nom rayon de courbure, arc de parabole. Visualisation du vecteur tangent, de la normale et du cercle osculateur.
Tutoriel d'utilisation de la calculatrice: plotparam et visualisation du cercle osculateur (F4, F5 sur calculatrices). En utilisant plotparam, la calculatrice définit des variables x0,x1,x2,y0,y1,y2 contenant x(t) et ses dérivées et y(t) et ses dérivées, ce qui permet facilement de vérifier les points d'inflexion solve(x1*y2-x2*y1=0) ou calculer la courbure. En polaire utiliser expression => R puis plotpolar(R) puis solve(1/R+(1/R)''=0)
Re: mat307 2025/26
Cours 6 sur 13 du 2/10:
Repère de Frenet, courbure, calcul en coordonnées polaires.
Recherche d'un cercle au plus proche de la courbe: centre sur la normale, même accélération normale, -> Omega=M+1/kappa*N
Exemple de calcul complet courbure/centre cercle osculateur pour la parabole (t,t^2/2).
Illustration machine du fait que génériquement la courbe traverse le cercle osculateur (plotparam puis F5 dans le graphe), sauf en quelques points, appelés sommets de la courbe, c'est du reste le même point que le sommet d'une parabole, point où la courbure est extrêmale.
Formule kappa=d/ds(angle de T avec un axe fixe), formule dN/ds
Les centres des cercles osculateurs décrivent une autre courbe, la développée. Calcul de la dérivée du centre du cercle osculateur sur la développée par rapport à l'abscisse curviligne, = d/ds(1/courbure)*vecteur normal à la courbe. Longueur parcourue sur la développée est la différence entre les rayons de courbure.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe. La notion d'enveloppe de famille de droites est commune avec l'optique: enveloppe de rayons lumineux -> caustique, illustration avec des rayons parallèles se réfléchissant sur un demi-cercle qui donnent une néphroïde.
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... hroide.xws
Illustration de la notion de développante (courbe dont la développée est donnée) sur le cas d'un cercle, c'est ici la courbe qu'on décrit si on déroule une bobine enroulée sur un cercle.
viewtopic.php?f=32&p=13252#p13252
Si kappa est extrémal, la développée admet un point singulier au centre du cercle osculateur correspondant.
Définition de sommet d'une courbe, point ou la courbure est extrémale, c'est l'analogue à l'ordre 2 de point d'inflexion a l'ordre 1 (d'où la traversée du cercle osculateur génériquement). Exemple de la parabole.
Développante
Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2*kappa=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => on intègre puis T=(cos(theta),sin(theta))=dM/ds
Tracé à la machine:
plotparam(integrate(exp(i*u^2),u,0,s),s,0,2)
Remarque: utiliser un complexe z(theta)=r(theta)*exp(i*theta) peut servir pour l'étude une courbe polaire
Remarque: en 3d, on peut généraliser. Pour un point générique, on a par exemple un repère de Frénet composé de 3 vecteurs, T, N tel que dT/ds=kappa*N, et dN/ds=-kappa*T+torsion*B ou T,N,B est orthonormé direct.
Repère de Frenet, courbure, calcul en coordonnées polaires.
Recherche d'un cercle au plus proche de la courbe: centre sur la normale, même accélération normale, -> Omega=M+1/kappa*N
Exemple de calcul complet courbure/centre cercle osculateur pour la parabole (t,t^2/2).
Illustration machine du fait que génériquement la courbe traverse le cercle osculateur (plotparam puis F5 dans le graphe), sauf en quelques points, appelés sommets de la courbe, c'est du reste le même point que le sommet d'une parabole, point où la courbure est extrêmale.
Formule kappa=d/ds(angle de T avec un axe fixe), formule dN/ds
Les centres des cercles osculateurs décrivent une autre courbe, la développée. Calcul de la dérivée du centre du cercle osculateur sur la développée par rapport à l'abscisse curviligne, = d/ds(1/courbure)*vecteur normal à la courbe. Longueur parcourue sur la développée est la différence entre les rayons de courbure.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe. La notion d'enveloppe de famille de droites est commune avec l'optique: enveloppe de rayons lumineux -> caustique, illustration avec des rayons parallèles se réfléchissant sur un demi-cercle qui donnent une néphroïde.
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... hroide.xws
Illustration de la notion de développante (courbe dont la développée est donnée) sur le cas d'un cercle, c'est ici la courbe qu'on décrit si on déroule une bobine enroulée sur un cercle.
viewtopic.php?f=32&p=13252#p13252
Si kappa est extrémal, la développée admet un point singulier au centre du cercle osculateur correspondant.
Définition de sommet d'une courbe, point ou la courbure est extrémale, c'est l'analogue à l'ordre 2 de point d'inflexion a l'ordre 1 (d'où la traversée du cercle osculateur génériquement). Exemple de la parabole.
Développante
Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2*kappa=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => on intègre puis T=(cos(theta),sin(theta))=dM/ds
Tracé à la machine:
plotparam(integrate(exp(i*u^2),u,0,s),s,0,2)
Remarque: utiliser un complexe z(theta)=r(theta)*exp(i*theta) peut servir pour l'étude une courbe polaire
Remarque: en 3d, on peut généraliser. Pour un point générique, on a par exemple un repère de Frénet composé de 3 vecteurs, T, N tel que dT/ds=kappa*N, et dN/ds=-kappa*T+torsion*B ou T,N,B est orthonormé direct.