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Message par parisse » mer. sept. 07, 2022 12:05 pm

Cours 1/13 (mercredi 7/9)

Présentation du module.
1er chapitre Courbes paramétrées:
1/ motivation: graphes de fonction insuffisant, cinématique
2/ rappel pour les fonctions: domaine de définition, domaine d'étude: restriction par parité ou/et périodicité, étude aux bornes de l'intervalle, asymptote, recherche des variations avec f', tableau de variations, raffinement: convexité, tracé. Exemple avec sqrt(x^4+1)/x
3/ vérification ou calcul à la machine, tracé à la machine. Discrétisation: attention! plotfunc(x+0.01/(x-sqrt(2)),x=-2..2,xstep=0.1) et xstep=0.01
4/ Définition de courbe paramétrée sur un intervalle ou une réunion d'intervalles de R, restriction du domaine d'étude par parité (4 cas), par périodicité (par ex. pour x=cos(t), y=sin(3t))
Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini. Si les 2 limites sont infinies, a= limite(y/x), si a est fini non nul et si y-a*x tend vers b fini asymptote oblique, sinon branche parabolique direction y=a*x. Si a=inf ou 0 branche parabolique Oy ou Ox.

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Message par parisse » ven. sept. 09, 2022 8:11 am

Cours 2/13 vendredi 9/9
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1), recherche des asymptotes obliques en t=-+inf (branche para) et t=-1/2
Etude locale en t0
La tangente est portée par la vitesse si elle est non nulle/point régulier.
Si x'=0 ou y'=0 tangente verticale ou horizontale.
Def point singulier. Si l'accélération est non nulle la tangente est portée par l'accélération pour un point singulier et on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus
Double tableau de variations et tracé de l'exemple
Etude de la convexité: Si (vitesse,accélération) est un repère direct la courbe est convexe,
si indirect concave, si nul inflexion analytique, si nul en changeant de signe, inflexion géométrique.
Critère équivalent m=y'/x' pente de la tangente en un point régulier, si le signe de m' est +, la pente croit, convexe, si - concave, si nul on a peut-être une inflexion.
Exemple: les calculs sont vite pénibles, on les fait à la machine:

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Message par parisse » jeu. sept. 15, 2022 4:25 pm

cours 3/13 du 15 septembre
Point singuliers: étude précise du type en fonction de la parité de p et q, premières dérivées formant un repère. Exemple X:=2t+1/(2t+1); Y:=t^2-1/(2t+1) en t=-1: rebroussement de 1ère espèce. Le calcul de p et q se fait souvent avec un DL.

Courbes en polaires:
définition, attention r(theta) peut être négatif
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3
Branches infinies: si +/-inf dans le domaine d'étude on peut avoir un cercle ou un point asymptote. En un theta0 fini, si r tend vers l'infini, calcul de limite r*sin(theta-theta0)=l, si l est fini asymptote Y=l dans le repère tourné de theta0. Si l=infini on a une branche parabolique de direction asymptotique faisant un angle theta0.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta))
Vitesse dans le repère er,etheta. Conséquence il ne peut y avoir de point singulier que si r=0 et r'=0 en theta0, la tangente fait alors un angle theta0 et il y a rebroussement de 1ère espèce si r est de signe constant.

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Message par parisse » jeu. sept. 22, 2022 5:20 pm

Petit tutoriel sur l'utilisation de la calculatrice: menus, exemple de tracé de courbe en paramétrique. Je ferai un tutoriel plus complet jeudi prochain.

Courbes en polaires (fin): tableau de variations, tracé.
Exemple 1/(1+2*cos(theta))

Code : Tout sélectionner

plotpolar(1/(1+2*cos(x)),x,color=red);
D:=rotation(0,2*pi/3,droite(y=-1/sqrt(3)));
symetrie(droite(y=0),D)
Convexité/points d'inflexion: calcul du déterminant de vitesse, accélération dans le repère (e_r,e_theta)
Formulation équivalente: pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0.
Remarque: "vitesse" ici ne signifie pas vitesse cinématique, il faut multiplier par d theta/dt
Remarque: on peut faire l'étude d'une courbe en polaire avec les complexes, z=r(theta)*exp(i*theta)

Complément sur les coniques, définies comme r(theta)=alpha/(1+e*cos(theta)), e=excentricité.
Domaine d'étude dans [0,pi]: 3 cas selon e>=0: e<1, e=1 (1 valeur interdite=à sa symétrique), e>1
Lien avec OM=e*distance de M à D où D est une droite verticale.
Equation cartésienne dans le cas d'une ellipse: c'est un cercle en x,Y si on pose Y=y/sqrt(1-e^2), demi-grand axe a=alpha/(1-e^2), dont le centre est décalé en abscisse de l'origine de c=a*e.
Lien avec la physique : lois de Kepler. Les saisons n'ont pas la même durée (été un peu plus long que l'hiver). En climatologie: dissymétrie entre les hémisphères Nord (près du Soleil en hiver) et Sud (en été), un mot sur l'explication astronomique des glaciations du quaternaire.
N.B.: les résultats de ce complément ne sont pas exigibles en examen.

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Message par parisse » jeu. sept. 29, 2022 4:11 pm

Cours 5 sur 13:
Tutoriel d'utilisation de la calculatrice: vérification des résultats de l'étude analytique de x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1).

Propriétés métriques des courbes (debut):
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantanée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt ou intégrale sqrt(r'^2+r^2) *d theta
Exemple: segment, arc de parabole. Remarque: il n'y a pas souvent de formule explicite -> calcul approché à la machine en donnant une des bornes sous forme d'un nombre approché (1.0 au lieu de 1 par exemple).

Paramétrage par s, la longueur d'arc. Vecteur vitesse=vitesse scalaire*vecteur tangent, vecteur tangent=dM/ds.
Calcul de l'accélération d2M/dt^2, formule a=dv/dt*T+v^2*dT/ds
dT/ds est orthogonal a T, dT/ds= kappa * N, kappa la courbure et N le vecteur normal tel que (M,T,N) soit orthonormé direct, c'est le repère de Frenet.

calcul de la courbure en paramétriques et en polaire
Exemple: calcul pour R(cos(t),sin(t)), courbure=1/R
-> Rayon de courbure=1/|kappa|,

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Message par parisse » jeu. oct. 06, 2022 5:40 pm

Cours 6 sur 13 du 6/10:
Exemple de calcul complet courbure/centre cercle osculateur pour la parabole (t,t^2/2).
On remarque que les racines carrées disparaissent pour M+1/kappa*N (fait général).
Illustration machine du fait que génériquement la courbe traverse le cercle osculateur.
Définition de sommet d'une courbe, point ou la courbure est extremale, c'est l'analogue à l'ordre 2 de point d'inflexion a l'ordre 1. On ne traverse pas le cercle osculateur dans ce cas. Exemple de la parabole.

Les centres des cercles osculateurs décrivent une autre courbe, la développée.
Calcul de la tangente en un point de la développée, c'est la normale à la courbe de départ, longueur d'arc de la développée=différence entre les rayons de courbures de la courbe de départ.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe.
La developpée admet un point singulier au centre du cercle osculateur correspondant à un sommet.

Formule kappa=dtheta/ds ou theta est l'angle entre Ox et le vecteur tangent.
Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2/R=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => on intègre puis T=(cos(theta),sin(theta))=dM/ds

2ème partie: formes différentielles et intégrales curvilignes (intersection non vide avec le cours de mat304)
Dérivée directionnelle d'une fonction, dV(v)=derivee directionnelle de V selon v. Calcul en coordonnées dV((a,b))=a*partial_x V+b*partial_y V. Exemple V(x,y)=x [respectivement y], dx(v)=1ère [resp. dy(v)=2ème] composante de v.
On a alors dV=partial_x V dx+ partial_y V dy
Forme différentielle: cas plus général de la donnée en tout point de R^2 d'une application linéaire de R^2 dans R

Propriéte: dV s'annule sur tout vecteur tangent à une courbe de niveau (ou gradient V est orthogonal à une ligne de niveau).

Lien entre dV et gradient: dV(w)=gradient V.v (gradient note \nabla)
Exemple d'application: retrouver l'expression de nabla V en coordonnées polaires

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Message par parisse » jeu. oct. 13, 2022 4:39 pm

Exemples de calcul du gradient: V(M)=d(O,M) en coordonnées polaire et vérification en cartésiennes
V(M)=d(M,D) pour une droite D fixée.
V(M)=d(O,M)-d(M,D) ligne de niveau 0 = parabole de foyer O et directrice D, le gradient est porté par la bissectrice de OM et de la perpendiculaire a la directrice D passant par M -> un rayon incident parallèle à l'axe d'une parabole se réfléchit sur la parabole en passant par le foyer O.

Intégrale curviligne d'une forme différentielle omega le long d'un arc paramétré gamma(t), t \in [a,b] = intégrale de a à b de omega appliqué à la vitesse en gamma(t)* dt
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=y*dx
Autre paramétrage (u^2,u^4), u \in [0,1]. Même résultat.
Ceci se généralise, justifiant la definition, il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale.

Peut-on calculer l'intégrale par différence entre une fonction aux 2 extrémités comme en dimension 1?
Si omage=dV, alors oui
On appelle forme diff exacte une forme pour lequel c'est possible.
Si omega est exacte alors omega=dV, preuve en intégrant sur le segment (x,y)->(x+h,y) on trouve M=derivee partielle de V selon x
Remarque: convention de signe opposée à la physique avec F=-grad(V)
Condition nécessaire si V est C^2: partial M/partial y=partial N/partial x. On parle de forme fermée.
On a exacte -> fermée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie, s'il y a des trous dans le domaine de définition de omega (admis pour l'instant)
Exemple 1: y*dx non fermée donc non exacte, calcul sur l'arc de parabole déjà fait, calcul sur le segment reliant (0,0) a (1,1)
Exemple 2: y*dx+x*dy
Fermée, exacte; calcul du potentiel V
calcul de 2 manières de l'intégrale curviligne de omega sur l'arc de parabole reliant (0,0) a (1,1): par V(B)-V(A) ou en paramétrant avec (t,t^2), vérification que c'est la meme chose sur le segment
Exemple 3: (y*dx-x*dy)/(x^2+y^2) fermée mais pas exacte à cause de (0,0), recherche du potentiel arctan(x/y) non défini en y=0 avec un saut de pi. Calcul de l'intégrale sur le cercle unité

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Message par parisse » jeu. oct. 20, 2022 4:00 pm

Cours 8 sur 13.
Théorème de Stokes/Green-Riemann. Idée de démonstration: rectangle puis réunion de rectangles et passage à la limite.
Application au calcul d'intégrales doubles:
calcul d'aire avec x*dy ou -y*dx ou 1/2*(-y*dx+x*dy), exemple aire de l'ellipse,
centre d'inertie d'un quart de cercle.
Conséquence de Stokes: si omega, forme fermée, est régulière sur un domaine ouvert sans trou, alors omega=dV, avec V(B)=integrale curviligne de omega sur un chemin d'origine A et d'extrémité B, la définition ne dépend pas du chemin.
Lien avec le chapitre suivant: si omega=M*dx+N*dy est nulle le long d'un chemin gamma paramétrable par y=y(x) alors on a une solution de l'équation différentielle y'=-M/N. Si omega=dV, les courbes de niveau de V sont alors solutions.
====
Equations et systèmes différentiels.
1/ Generalites.
Présentation sous forme résolue y'=f(y,t), f:R^nxR->R^n, y dans R^n 5N.B. j'écris y' sur le forum mais j'utilise la notation y point au tableau).
Si f(y,t)=f(y) ne dépend pas du temps, on parle d'équation autonome (système isolé en physique, pas de dépendance explicite en temps). Si f(y,t)=f(y)+g(t) autonome avec forçage extérieur (= second membre, source extérieure).
-> Equation non résolue: il faut commencer par calculer y' lorsque c'est possible, par exemple y'^2+y^2=1.
-> Si l'équation est d'ordre >1, on peut se ramener à un système d'ordre 1 en augmentant la dimension, par exemple l'équation fondamentale de la dynamique y''=somme des forces(y,y',t)/m en posant Y=(y,y')

On sait calculer la solution générale explicite de certaines équations différentielles, mais c'est souvent impossible => résolution numérique, on calcule y(t_1) de manière approchée si y(t_0) est donné. Le calcul s'inspire de la représentation graphique du champ des tangentes en dimension 1. On appelle champ des tangentes un quadrillage d'une partie du plan (t,y) par des segments de pente f(y,t). Cela donne une idée des solutions, une courbe solution est tangente au vecteur si elle passe par un point du quadrillage, et proche sinon.
Illustration machine d'un champ des tangentes et de quelques courbes solutions de y'=sin(t*y).

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Message par parisse » jeu. nov. 17, 2022 4:53 pm

Cours 9 sur 13

Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis): si f continument dérivable sur R^nxR il existe une solution maximale sur un intervalle ouvert en temps I passant par toute condition initiale.
Fonctionne aussi sur un ouvert D de R^nxR.
Idée: équation intégrale équivalente -> méthodes d'approximation numérique généralisant le champ des tangentes, suite de fonctions y_(n+1)(t)=y_n(t_0)+int(f(y_n(u),u),u,t0,t) dont il faut montrer la convergence.

Exemple 1: y'=t*y^2, on a la solution nulle, les autres sont non nulles, donc on peut diviser par y^2.
Exemple 2: t*y'=y, y'=y/t CL ne s'applique pas en 0 on a une infinité de solutions passant par (0,0) et pas de solution pour y(0)!=0.
Contrôle d'une solution par des solutions connues (pas de croisement), par exemple y'=y*(1-y), si 0<y(t0)<1 la solution y reste, y est croissante et majorée -> y converge en +infini, y'->0 donc y tend vers 1. allure du graphe d'une solution

Si des solutions se croisent cela ne peut être qu'en un point ou f(y,t) n'est pas régulière.

Illustration machine (Xcas, calculatrices)
-> desolve
-> champ des tangentes

2/ Méthodes de résolution explicite
-> Variables séparables y'=g(y)*h(t),
solutions particulières stationnaires: y=racine de g,
sinon
G(y)=H(t)+Cte, G primitive de 1/g et H de h
Cas favorable: on peut calculer y en fonction de t
cas général: équation implicite entre t et y, à tracer dans le plan des (t,y)

Exemple y'=t*y
-> Equations linéaires du 1er ordre sans second membre: y=K*exp(H(t)), K reel.
-> Equations linéaires du 1er ordre avec second membre: méthode de variation de la constant, exemple y'=t*y-t
3/ Equation linéaire ordre n -> espace vectoriel de solutions, on peut montrer que c'est de dimension n en appliquant Cauchy-Lipschitz sur le système associé. Pas de méthode générale de résolution. On peut réduire de 1 l'ordre si on connait une solution.

4/ Linéaire à coefficients constants (sans second membre), équation caractéristique associée P(r)=0. Si r est racine de P alors exp(r*t) est solution.

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Message par parisse » jeu. nov. 24, 2022 5:04 pm

Linéaire à coefficient constant, équation caractéristique P(r)=0.
Prop: Si P a h racines simples r_1, .., r_j, ..., l'espace vectoriel des solutions est engendré par les e^{r_j*t}
Démonstration
Exemple 1: y''+3y'-4y=0,
Exemple 2: y''+2y'+5y=0, passage au réel
Prop: Si r racine multiple, remplacer e^{r*t} m fois par e^{r*t},t*e^{r*t}, ..., t^{m-1}*e^{r*t}
Exemple: y''+4y'+4y=0, vérification, généralisation: esquisse de preuve.

Résolution avec second membre: solution particulière+solution générale.
Méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière, cas de l'ordre 2:
y=lambda_1*y_1+lambda_2*y_2 où {y_1,y_2} forme une base de solutions de l'équation homogène.
résolution de système linéaire en les lambda_j' en imposant lambda_1'*y_1+lambda_2'*y_2=0 et l'équation différentielle lambda_1'*y_1+lambda_2'*y_2=second membre/a
d le déterminant du système vérifie une edo linéaire d'ordre 1, donc s'il s'annule en un point il s'annule partout, dans ce cas y_2=lambda(t)*y_1 vérifie lambda'=0 donc lambda est constant, impossible car y_1 et y_2 forment une base. Donc d est non nul, et la méthode fonctionne.
Exemple: y''+3y'-4y=exp(t)

Les calculs sont assez pénibles, si second membre G(t)*exp(r*t)*cos(omega*t), solution particulière de la même forme exp(r*t)*(A(t)*cos(omega*t)+B(t)*sin(omega*t)) avec A et B de même degré que G + multiplicité de r dans le polynôme caractéristique, ce qui donne des calculs plus simples.
Exemples: y''+2y'+5y=cos(w*t)
y''+y=cos(w*t), si w=1 résonance

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Message par parisse » jeu. déc. 01, 2022 5:08 pm

Cours 11 sur 13
EDO linéaires à coefficients constants.
Principe de superposition.
Calcul de solution particulière pour un second membre trigonométrique en utilisant les complexes.
Exemple: y''+2y'+5y=cos(w*t), calcul de l'amplitude et du déphasage de la solution particulière.

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants:
Y'=A*Y homogène, Y dans R^d, ou Y'=A*Y+b(t) avec second membre
Dans le cas diagonalisable
A=P*D*P^(-1), D diagonale, Y'=A*Y+b, Y=P*Z, Z vérifie un système diagonal Z'=D*Z+P^-1*b, résolution, puis Y=P*Z.
Exemple: A:=[[-1,1],[2,4]] résolution sans puis avec second membre b=[exp(t),0]

Si n=2, A=[[a,b],[c,d]], Y=[x,y], on peut se ramener à une équation d'ordre 2 en x si b!=0 par substitution. On observe que son équation caractéristique est le polynome caractéristique de la matrice A. Ceci permet de traiter les cas où A n'est pas diagonalisable.

Si A est réelle, les valeurs propres sont soit réelles, soit par couple de complexes conjuguées.
Allure des solutions lorsque n=2 selon les cas 2 valeurs propres réelles de même signe, de signe opposé, ou deux valeurs propres complexes conjuguées.

Code : Tout sélectionner

A:=[[-1,1],[1,2]];p,d:=jordan(A) ;
A:=[[1,-1],[2,4]];p,d:=jordan(A) ;
A:=[[0,1],[-1,0]];p,d:=jordan(A);
A:=[[1,1],[-1,1]];p,d:=jordan(A);  
seq(seq(plotparam(exp(A*t)*[a/5,b/5],t=-1..1,affichage=arrow_line),a,-3,3),b,-3,3);
// droite(0,transpose(p)[0],affichage=vert+line_width_3); droite(0,transpose(p[1],affichage=rouge+line_width_3); 
Utilisation de la calculatrice: shift-Mat 1 matrix pour entrer une matrice, commandes egv/egvl/jordan/desolve.
Remarque: suite à l'illustration, j'ai donné une idée de ce que signifiait exp(A*t) en insistant bien que ce n'était pas au programme.

Systèmes d'ordre n>1 : on se ramène à un système d'ordre 1 en ajoutant les dérivées jusqu'à l'ordre n-1. Exemple https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec48

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Message par parisse » jeu. déc. 08, 2022 5:33 pm

Autres méthodes de calcul explicite: constantes du mouvement:
* y'=f(x,y). S'il existe g telle que omega=g(dy-fdx) est exacte, les courbes integrales sont courbes de niveau du potentiel de omega.
* système conservatif en dimension 1 permet de remplacer m*x''=somme des forces en
1/2*m*x'^2+V=E, si V ne dépend pas du temps, équation à variables séparables,
Exemple: calcul de la période du pendule sans approximation, fait intervenir int(1/sqrt(cos(theta)-cos(theta0)),theta=0..theta0) possible numériquement si theta0 est connu.
* Exemple système proie-prédateur x'=x*(a-b*y) et y'=y(-c+d*x), V=d*x-c*ln(x)+b*y-a*ln(y)

Comportement asymptotique des solutions d'équations linéaires à coeff constants en dimension 1
Cas homogène:
Si toutes les racines de l'équation caractéristique sont de partie réelle < 0 alors convergence vers 0
Si <=0 et si les racines de partie réelle sont simples, les solutions sont bornées.
Exemples: y''+y=0, y''+y'+y=0, y''+3y'+2y=0
Second membre périodique de type sin/cos(omega*t)
Régime permanent: toutes les solutions s'approchent d'une solution particulière si parties réelles des racines<0
Cas d'une partie réelle nulle (simple): fonction bornée sauf si i*omage est solution de l'équation caractéristique -> résonance.

Introduction au calcul variationnel:
Lagrangien L(x,x',t) (attention j'ai noté x point en cours, pas x' mais sur ce forum je ne sais pas faire un x point...), action S, exemples: longueur d'arc, lagrangien 1/2*m*x'^2-V(x) de la mécanique classique (force conservatrice).
Equations d'Euler-Lagrange (théorème énoncé, je ferais une preuve heuristique la prochaine fois) pour minimiser S sur les chemins d'extrémités fixés vus comme courbes paramétrées par le temps avec paramètres fixé aux extrémités.
Exemple:
lagrangien de la mécanique classique=énergie cinétique-potentiel, les équations d'Euler-Lagrange redonnent m*accélération=forces
longueur d'arc paramétrée -> lagrangien=norme de la vitesse, équations d'Euler-Lagrange donnent vecteur tangent constant.

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Message par parisse » jeu. déc. 15, 2022 4:02 pm

cours 15/12 a distance:
Calcul variationnel 2eme partie: 2 exemples: mgz en 3 variables et Terre-Soleil en polaire. Constante du mouvement sur ces exemples: quantite de mouvement en x et y, moment cinetique. Cas ou L ne depend pas explicitement du temps: conservation de H. Idee de preuve d'Euler-Lagrange.
viewtopic.php?f=52&t=2833

Evolution des systemes lineaires: comme les equations en remplacant racines de l'equation caracteristique par valeurs propres.
viewtopic.php?f=52&t=2834
Illustration de trajectoires tendant vers 0 ou bornees
session Xcas

Cas non lineaire: cas autonome y'=f(y) en dimension 1: si f(r)=0 et f'(r)>0 alors instable, si f'(r)<0 alors stable (preuve avec Cauchy-Lipschitz), cas autonome en dim >1 on peut montrer que si les valeurs propres du linearise sont de partie reelle strictement <0 alors stable.
Ajout d'une source: on ne peut rien dire (sauf si on reste dans le domaine ou une linearisation est valide).
viewtopic.php?f=52&t=2835

Exemple de modelisation des saisons.
viewtopic.php?f=52&t=2832

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