Cours 1/13 (mercredi 6/9)
Présentation du module.
1er chapitre Courbes paramétrées:
Motivation: graphes de fonction insuffisant, cinématique
Définition de courbe paramétrée sur un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Cas particulier t=x pour les fonctions.
Rappel pour les fonctions: 1/ domaine de définition, 2/ domaine d'étude: restriction par parité ou/et périodicité, 3/ étude aux bornes de l'intervalle, asymptote, 4/ recherche des variations avec f', tableau de variations, 5/ raffinement optionnel: convexité, 6/ tracé. Exemple avec sqrt(x^4+1)/x
Vérification ou calcul à la machine, tracé à la machine. Discrétisation: attention! plotfunc(x+0.01/(x-sqrt(2)),x=-2..2,xstep=0.1) et xstep=0.01
Généralisation aux courbes paramétrées:
1/ Domaine,
2/ domaine d'étude, restriction du domaine d'étude par parité (4 cas), par périodicité (par ex. pour x=cos(t), y=sin(3t))
3/ Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini. Recherche d'asymptote oblique si x et y tendent vers l'infini.
mat307 2023/24
Modérateur : xcasadmin
Re: mat307 2023/24
Cours 2/13 vendredi 8/9
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1), recherche des asymptotes obliques en t=-+inf (branche para) et t=-1/2
Etude locale en t0
La tangente est portée par la vitesse si elle est non nulle/point régulier.
Si x'=0 ou y'=0 tangente verticale ou horizontale.
Def point singulier. Si l'accélération est non nulle la tangente est portée par l'accélération pour un point singulier et on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus
Double tableau de variations et tracé de l'exemple
Raffinement: étude de la convexité: Si (vitesse,accélération) est un repère direct la courbe est convexe,
si indirect concave, si nul inflexion analytique, si nul en changeant de signe, inflexion géométrique.
Critère équivalent m=y'/x' pente de la tangente en un point régulier, si le signe de m' est +, la pente croit, convexe, si - concave, si nul on a peut-être une inflexion.
Exemple: les calculs sont vite pénibles, on les fait à la machine
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1), recherche des asymptotes obliques en t=-+inf (branche para) et t=-1/2
Etude locale en t0
La tangente est portée par la vitesse si elle est non nulle/point régulier.
Si x'=0 ou y'=0 tangente verticale ou horizontale.
Def point singulier. Si l'accélération est non nulle la tangente est portée par l'accélération pour un point singulier et on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus
Double tableau de variations et tracé de l'exemple
Raffinement: étude de la convexité: Si (vitesse,accélération) est un repère direct la courbe est convexe,
si indirect concave, si nul inflexion analytique, si nul en changeant de signe, inflexion géométrique.
Critère équivalent m=y'/x' pente de la tangente en un point régulier, si le signe de m' est +, la pente croit, convexe, si - concave, si nul on a peut-être une inflexion.
Exemple: les calculs sont vite pénibles, on les fait à la machine
Code : Tout sélectionner
X:=2t+1/(2t+1); Y=t^2-1/(2t+1);
X1:=diff(X,t); Y1:=diff(Y,t); m:=Y1/X1;
factor(diff(m,t));
Re: mat307 2023/24
cours 3/13 du 14 septembre
Position par rapport à la tangente: étude en fonction de la parité de p et q, premières dérivées formant un repère. Exemple X:=2t+1/(2t+1); Y:=t^2-1/(2t+1) en t=-1: D.L. en posant t=-1+h, rebroussement de 1ère espèce.
Courbes en polaires:
définition, attention r(theta) peut être négatif
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3
Branches infinies: si theta=+/-inf est dans le domaine d'étude on peut avoir un cercle ou un point asymptote. En un theta0 fini, si r tend vers l'infini, calcul de limite r*sin(theta-theta0)=l, si l est fini asymptote Y=l dans le repère tourné de theta0. Si l=infini on a une branche parabolique de direction asymptotique faisant un angle theta0.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta))
Vitesse dans le repère e_r,e_theta. Conséquence il ne peut y avoir de point singulier que si r=0 et r'=0 en theta0, la tangente fait alors un angle theta0.
Position par rapport à la tangente: étude en fonction de la parité de p et q, premières dérivées formant un repère. Exemple X:=2t+1/(2t+1); Y:=t^2-1/(2t+1) en t=-1: D.L. en posant t=-1+h, rebroussement de 1ère espèce.
Courbes en polaires:
définition, attention r(theta) peut être négatif
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3
Branches infinies: si theta=+/-inf est dans le domaine d'étude on peut avoir un cercle ou un point asymptote. En un theta0 fini, si r tend vers l'infini, calcul de limite r*sin(theta-theta0)=l, si l est fini asymptote Y=l dans le repère tourné de theta0. Si l=infini on a une branche parabolique de direction asymptotique faisant un angle theta0.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta))
Vitesse dans le repère e_r,e_theta. Conséquence il ne peut y avoir de point singulier que si r=0 et r'=0 en theta0, la tangente fait alors un angle theta0.
Re: mat307 2023/24
Courbes en polaires (fin): tableau de variations, tracé.
Exemple 1/(1+2*cos(theta)))
Convexité/points d'inflexion: calcul du déterminant de vitesse, accélération dans le repère (e_r,e_theta)
Formulation équivalente: pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0.
Remarque: "vitesse" ici ne signifie pas vitesse cinématique, il faut multiplier par d theta/dt
Remarque: on peut faire l'étude d'une courbe en polaire avec les complexes, z=r(theta)*exp(i*theta)
Tutoriel utilisation des calculatrices (1ère partie): allumer/éteindre/touche MENU et lancement de Xcas. Menus rapides F1 à F3, accès à l'aide, menu complet avec F4, touche F5 pour bloquer en mode alphabétique minuscule, touche ALPHA pour taper un caractère alphabétique majuscule. Exemple du tracé en polaire de 1/(1+2*cos(theta)).
Complément sur les coniques, définies comme r(theta)=A/(1+e*cos(theta)), e=excentricité, e=2 exemple étudié précédemment, e=0 cercle.
Si e<1, alors défini partout, tangente verticales en theta=0 et pi, tracé.
Equation cartésienne : c'est un cercle en x,Y si on pose Y=y/sqrt(1-e^2), demi-grand axe a=A/(1-e^2), dont le centre est décalé en abscisse de l'origine de a*e.
Lien avec la physique : lois de Kepler. Pour la Terre, e=0.0167 et theta=0 vers le 3 ou le 4 janvier. Au début de l'hiver (Nord), la Terre reçoit plus d'énergie du Soleil qu'au début de l'été, environ 6% (4*e).
En climatologie: dissymétrie entre les hémisphères Nord (près du Soleil en hiver) et Sud (en été), un mot sur l'explication astronomique des glaciations du quaternaire.
N.B.: les résultats de ce complément ne sont pas exigibles en examen.
Exemple 1/(1+2*cos(theta)))
Convexité/points d'inflexion: calcul du déterminant de vitesse, accélération dans le repère (e_r,e_theta)
Formulation équivalente: pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0.
Remarque: "vitesse" ici ne signifie pas vitesse cinématique, il faut multiplier par d theta/dt
Remarque: on peut faire l'étude d'une courbe en polaire avec les complexes, z=r(theta)*exp(i*theta)
Tutoriel utilisation des calculatrices (1ère partie): allumer/éteindre/touche MENU et lancement de Xcas. Menus rapides F1 à F3, accès à l'aide, menu complet avec F4, touche F5 pour bloquer en mode alphabétique minuscule, touche ALPHA pour taper un caractère alphabétique majuscule. Exemple du tracé en polaire de 1/(1+2*cos(theta)).
Complément sur les coniques, définies comme r(theta)=A/(1+e*cos(theta)), e=excentricité, e=2 exemple étudié précédemment, e=0 cercle.
Si e<1, alors défini partout, tangente verticales en theta=0 et pi, tracé.
Equation cartésienne : c'est un cercle en x,Y si on pose Y=y/sqrt(1-e^2), demi-grand axe a=A/(1-e^2), dont le centre est décalé en abscisse de l'origine de a*e.
Lien avec la physique : lois de Kepler. Pour la Terre, e=0.0167 et theta=0 vers le 3 ou le 4 janvier. Au début de l'hiver (Nord), la Terre reçoit plus d'énergie du Soleil qu'au début de l'été, environ 6% (4*e).
En climatologie: dissymétrie entre les hémisphères Nord (près du Soleil en hiver) et Sud (en été), un mot sur l'explication astronomique des glaciations du quaternaire.
N.B.: les résultats de ce complément ne sont pas exigibles en examen.
Re: mat307 2023/24
Cours 5 sur 13:
Propriétés métriques des courbes (debut):
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantanée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt ou intégrale sqrt(r'^2+r^2) *d theta
Exemple: segment, arc de parabole (t,t^2/2)
Remarque: il n'y a pas souvent de formule explicite -> calcul approché à la machine en donnant une des bornes sous forme d'un nombre approché (1.0 au lieu de 1 par exemple): integrate(sqrt(1+t^2),t,0,1.0)
Remarque: ne dépend pas du paramétrage choisi (propriété géométrique)
Paramétrage par s, la longueur d'arc. Vecteur vitesse=vitesse scalaire*vecteur tangent, vecteur tangent=dM/ds.
Calcul de l'accélération d2M/dt^2, formule a=dv/dt*T+v^2*dT/ds
dT/ds est orthogonal a T, dT/ds= kappa * N, kappa la courbure et N le vecteur normal tel que (M,T,N) soit orthonormé direct, c'est le repère de Frenet.
Formules pour le calcul de la courbure et repère de Frenet en paramétriques et en polaire
Exemple: calcul pour R(cos(t),sin(t)), courbure=1/R
D'où le terme Rayon de courbure pour 1/|kappa|,
Exemple: cas de la parabole (t,t^2/2)
Tutoriel d'utilisation de la calculatrice: vérification des résultats de l'étude analytique de x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1). En utilisant plotparam, la calculatrice définit des variables x0,x1,x2,y0,y1,y2 contenant x(t) et ses dérivées et y(t) et ses dérivées, ce qui permet facilement de vérifier les points singuliers avec solve(x1=0), solve(y1=0) ou les points d'inflexion solve(x1*y2-x2*y1=0)
Commandes utiles: tabvar, courbure, arclen.
Propriétés métriques des courbes (debut):
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantanée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt ou intégrale sqrt(r'^2+r^2) *d theta
Exemple: segment, arc de parabole (t,t^2/2)
Remarque: il n'y a pas souvent de formule explicite -> calcul approché à la machine en donnant une des bornes sous forme d'un nombre approché (1.0 au lieu de 1 par exemple): integrate(sqrt(1+t^2),t,0,1.0)
Remarque: ne dépend pas du paramétrage choisi (propriété géométrique)
Paramétrage par s, la longueur d'arc. Vecteur vitesse=vitesse scalaire*vecteur tangent, vecteur tangent=dM/ds.
Calcul de l'accélération d2M/dt^2, formule a=dv/dt*T+v^2*dT/ds
dT/ds est orthogonal a T, dT/ds= kappa * N, kappa la courbure et N le vecteur normal tel que (M,T,N) soit orthonormé direct, c'est le repère de Frenet.
Formules pour le calcul de la courbure et repère de Frenet en paramétriques et en polaire
Exemple: calcul pour R(cos(t),sin(t)), courbure=1/R
D'où le terme Rayon de courbure pour 1/|kappa|,
Exemple: cas de la parabole (t,t^2/2)
Tutoriel d'utilisation de la calculatrice: vérification des résultats de l'étude analytique de x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1). En utilisant plotparam, la calculatrice définit des variables x0,x1,x2,y0,y1,y2 contenant x(t) et ses dérivées et y(t) et ses dérivées, ce qui permet facilement de vérifier les points singuliers avec solve(x1=0), solve(y1=0) ou les points d'inflexion solve(x1*y2-x2*y1=0)
Commandes utiles: tabvar, courbure, arclen.
Re: mat307 2023/24
Cours 6 sur 13 du 5/10:
Rappel repère de Frenet, courbure. Formule kappa=d/ds(angle de T avec un axe fixe), formule dN/ds
Recherche d'un cercle au plus proche de la courbe: centre sur la normale, même accélération normale, -> Omega=M+1/kappa*N
Exemple de calcul complet courbure/centre cercle osculateur pour la parabole (t,t^2/2).
Illustration machine du fait que génériquement la courbe traverse le cercle osculateur.
Les centres des cercles osculateurs décrivent une autre courbe, la développée.
Calcul de la tangente en un point de la développée, c'est la normale à la courbe de départ, longueur d'arc de la développée=différence entre les rayons de courbures de la courbe de départ.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe.
Si kappa est extrémal, la développée admet un point singulier au centre du cercle osculateur correspondant.
Définition de sommet d'une courbe, point ou la courbure est extrémale, c'est l'analogue à l'ordre 2 de point d'inflexion a l'ordre 1. Exemple de la parabole.
Remarque: équation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2/R=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => on intègre puis T=(cos(theta),sin(theta))=dM/ds
J'ai eu un problème technique au vidéo, je n'ai pas pu montrer la courbe
plotparam(integrate(exp(i*s^2),s,0,t),t,-2,2)
2ème partie: formes différentielles et intégrales curvilignes (intersection non vide avec le cours de mat304)
Dérivée directionnelle d'une fonction, dV(w)=dérivée directionnelle de V selon w. Calcul en coordonnées dV((a,b))=a*partial_x V+b*partial_y V. Exemple V(x,y)=x [respectivement y], dx(w)=1ère [resp. dy(w)=2ème] composante de w.
On a alors dV=partial_x V dx+ partial_y V y
Propriéte: dV s'annule sur tout vecteur tangent à une courbe de niveau (ou gradient V est orthogonal à une ligne de niveau).
Lien entre dV et gradient: dV(w)=gradient V.v (gradient note \nabla)
Exemple d'application: retrouver l'expression de nabla V en coordonnées polaires
Rappel repère de Frenet, courbure. Formule kappa=d/ds(angle de T avec un axe fixe), formule dN/ds
Recherche d'un cercle au plus proche de la courbe: centre sur la normale, même accélération normale, -> Omega=M+1/kappa*N
Exemple de calcul complet courbure/centre cercle osculateur pour la parabole (t,t^2/2).
Illustration machine du fait que génériquement la courbe traverse le cercle osculateur.
Les centres des cercles osculateurs décrivent une autre courbe, la développée.
Calcul de la tangente en un point de la développée, c'est la normale à la courbe de départ, longueur d'arc de la développée=différence entre les rayons de courbures de la courbe de départ.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe.
Si kappa est extrémal, la développée admet un point singulier au centre du cercle osculateur correspondant.
Définition de sommet d'une courbe, point ou la courbure est extrémale, c'est l'analogue à l'ordre 2 de point d'inflexion a l'ordre 1. Exemple de la parabole.
Remarque: équation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2/R=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => on intègre puis T=(cos(theta),sin(theta))=dM/ds
J'ai eu un problème technique au vidéo, je n'ai pas pu montrer la courbe
plotparam(integrate(exp(i*s^2),s,0,t),t,-2,2)
2ème partie: formes différentielles et intégrales curvilignes (intersection non vide avec le cours de mat304)
Dérivée directionnelle d'une fonction, dV(w)=dérivée directionnelle de V selon w. Calcul en coordonnées dV((a,b))=a*partial_x V+b*partial_y V. Exemple V(x,y)=x [respectivement y], dx(w)=1ère [resp. dy(w)=2ème] composante de w.
On a alors dV=partial_x V dx+ partial_y V y
Propriéte: dV s'annule sur tout vecteur tangent à une courbe de niveau (ou gradient V est orthogonal à une ligne de niveau).
Lien entre dV et gradient: dV(w)=gradient V.v (gradient note \nabla)
Exemple d'application: retrouver l'expression de nabla V en coordonnées polaires
Re: mat307 2023/24
Exemple de calcul du gradient: V(M)=d(F,M)-d(D,M) où F est un point et D une droite
La ligne de niveau 0 est la parabole de foyer O et directrice D, le gradient est porté par la bissectrice de OM et de la perpendiculaire a la directrice D passant par M -> un rayon incident parallèle à l'axe d'une parabole se réfléchit sur la parabole en passant par le foyer O.
Intégrale curviligne d'une forme différentielle omega le long d'un arc paramétré gamma(t), t \in [a,b] = intégrale de a à b de omega appliqué à d gamma(t)/dt* dt
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=y*dx
Autre paramétrage (u^2,u^4), u \in [0,1]. Même résultat.
Ceci se généralise, justifiant la définition, il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale.
Peut-on calculer l'intégrale par différence entre une "primitive" aux 2 extrémités comme en dimension 1?
Si omage=dV, alors oui
On appelle forme diff exacte une forme pour lequel c'est possible.
Si omega est exacte alors omega=dV, preuve en intégrant sur le segment (x,y)->(x+h,y) on trouve M=derivee partielle de V selon x
Remarque: convention de signe opposée à la physique avec F=-grad(V)
Condition nécessaire pour être exacte (si V est C^2): partial M/partial y=partial N/partial x. On parle de forme fermée.
On a exacte -> fermée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie, s'il y a des trous dans le domaine de définition de omega (admis pour l'instant)
Exemple 1: y*dx non fermée donc non exacte, calcul sur l'arc de parabole déjà fait, calcul sur le segment reliant (0,0) a (1,1)
Exemple 2: y*dx+x*dy
Fermée, exacte; calcul du potentiel V
calcul de 2 manières de l'intégrale curviligne de omega sur l'arc de parabole reliant (0,0) a (1,1): par V(B)-V(A) ou en paramétrant avec (t,t^2) ou (t,t), vérification que c'est la même chose
Exemple 3: (y*dx-x*dy)/(x^2+y^2) fermée mais pas exacte à cause de (0,0). Calcul de l'intégrale sur le cercle unité
La ligne de niveau 0 est la parabole de foyer O et directrice D, le gradient est porté par la bissectrice de OM et de la perpendiculaire a la directrice D passant par M -> un rayon incident parallèle à l'axe d'une parabole se réfléchit sur la parabole en passant par le foyer O.
Intégrale curviligne d'une forme différentielle omega le long d'un arc paramétré gamma(t), t \in [a,b] = intégrale de a à b de omega appliqué à d gamma(t)/dt* dt
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=y*dx
Autre paramétrage (u^2,u^4), u \in [0,1]. Même résultat.
Ceci se généralise, justifiant la définition, il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale.
Peut-on calculer l'intégrale par différence entre une "primitive" aux 2 extrémités comme en dimension 1?
Si omage=dV, alors oui
On appelle forme diff exacte une forme pour lequel c'est possible.
Si omega est exacte alors omega=dV, preuve en intégrant sur le segment (x,y)->(x+h,y) on trouve M=derivee partielle de V selon x
Remarque: convention de signe opposée à la physique avec F=-grad(V)
Condition nécessaire pour être exacte (si V est C^2): partial M/partial y=partial N/partial x. On parle de forme fermée.
On a exacte -> fermée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie, s'il y a des trous dans le domaine de définition de omega (admis pour l'instant)
Exemple 1: y*dx non fermée donc non exacte, calcul sur l'arc de parabole déjà fait, calcul sur le segment reliant (0,0) a (1,1)
Exemple 2: y*dx+x*dy
Fermée, exacte; calcul du potentiel V
calcul de 2 manières de l'intégrale curviligne de omega sur l'arc de parabole reliant (0,0) a (1,1): par V(B)-V(A) ou en paramétrant avec (t,t^2) ou (t,t), vérification que c'est la même chose
Exemple 3: (y*dx-x*dy)/(x^2+y^2) fermée mais pas exacte à cause de (0,0). Calcul de l'intégrale sur le cercle unité
Re: mat307 2023/24
Cours 8 sur 13.
Théorème de Stokes/Green-Riemann.
Idée de démonstration: rectangle puis réunion de rectangles et passage à la limite.
Application au calcul d'intégrales doubles: recherche de M et N, ils ne sont pas uniques, en général on prend un des deux nul.
calcul d'aire avec x*dy ou -y*dx ou 1/2*(-y*dx+x*dy), exemple aire de l'ellipse,
centre d'inertie d'un quart de cercle.
integrale curviligne(E.dn)=integrale double de divergence E
====
Equations et systèmes différentiels.
1/ Generalites.
Equation/système sous forme résolue d'ordre 1: on recherche y une fonction de R dans R^d telle que y'=f(t,y), f:R*R^d->R^d, y dans R^d (N.B. j'écris y' sur le forum mais j'utilise la notation y point au tableau).
Ordre, dimension.
Pour se ramener à cette forme:
-> Si l'équation est d'ordre >1, on peut se ramener à un système d'ordre 1 en augmentant la dimension, par exemple l'équation fondamentale de la dynamique y''=somme des forces(y,y',t)/m en posant Y=(y,y')
-> il faut exprimer la plus grande derivée en fonction des autres, par exemple ci-dessus il faut juste diviser par une constante (la masse)
On sait calculer la solution générale explicite de certaines équations différentielles, mais c'est souvent impossible => résolution numérique. Le calcul s'inspire de la représentation graphique du champ des tangentes en dimension 1. On appelle champ des tangentes un quadrillage d'une partie du plan (t,y) par des vecteurs (1,f(t,y)) de pente f(t,y). Cela donne une idée des solutions, une courbe solution est tangente au vecteur si elle passe par un point du quadrillage, et proche sinon.
Illustration machine d'un champ des tangentes et de quelques courbes solutions de y'=sin(t*y).
Théorème de Stokes/Green-Riemann.
Idée de démonstration: rectangle puis réunion de rectangles et passage à la limite.
Application au calcul d'intégrales doubles: recherche de M et N, ils ne sont pas uniques, en général on prend un des deux nul.
calcul d'aire avec x*dy ou -y*dx ou 1/2*(-y*dx+x*dy), exemple aire de l'ellipse,
centre d'inertie d'un quart de cercle.
integrale curviligne(E.dn)=integrale double de divergence E
====
Equations et systèmes différentiels.
1/ Generalites.
Equation/système sous forme résolue d'ordre 1: on recherche y une fonction de R dans R^d telle que y'=f(t,y), f:R*R^d->R^d, y dans R^d (N.B. j'écris y' sur le forum mais j'utilise la notation y point au tableau).
Ordre, dimension.
Pour se ramener à cette forme:
-> Si l'équation est d'ordre >1, on peut se ramener à un système d'ordre 1 en augmentant la dimension, par exemple l'équation fondamentale de la dynamique y''=somme des forces(y,y',t)/m en posant Y=(y,y')
-> il faut exprimer la plus grande derivée en fonction des autres, par exemple ci-dessus il faut juste diviser par une constante (la masse)
On sait calculer la solution générale explicite de certaines équations différentielles, mais c'est souvent impossible => résolution numérique. Le calcul s'inspire de la représentation graphique du champ des tangentes en dimension 1. On appelle champ des tangentes un quadrillage d'une partie du plan (t,y) par des vecteurs (1,f(t,y)) de pente f(t,y). Cela donne une idée des solutions, une courbe solution est tangente au vecteur si elle passe par un point du quadrillage, et proche sinon.
Illustration machine d'un champ des tangentes et de quelques courbes solutions de y'=sin(t*y).
Re: mat307 2023/24
Cours 9 sur 13
Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis): si f continument dérivable sur RxR^n il existe une solution maximale sur un intervalle ouvert en temps I passant par une condition initiale donnée.
Valable aussi sur ]t0,t1[x]y0,y1[
Deux solutions ne peuvent pas se croiser.
Ne dit rien sur l'intervalle en temps, qui peut être R, ]-inf,t1[, ]t0,+inf[, ]t0,t1[. Tout dépend si y tend vers l'infini en temps fini.
Exemple 1: y'=t*y^2, on a la solution nulle, les autres sont non nulles, donc on peut diviser par y^2 pour trouver les autres solutions.
Exemple 2: (Contrôle d'une solution par des solutions connues, pas de croisement), par exemple y'=y*(1-y), si 0<y(t0)<1 la solution y reste, y est croissante et majorée -> y converge en +infini, y'->0 donc y tend vers 1. allure du graphe d'une solution
Exemple 3: t*y'=y, attention parait régulier, mais il faut exprimer y' en fonction de t et y, y'=y/t et CL ne s'applique pas en 0 on a une infinité de solutions passant par (0,0) et pas de solution pour y(0)!=0.
Illustration machine (Xcas, calculatrices)
-> résolution exacte:
S:=desolve(y'=x*y^2)
-> champ des tangentes et exemple de solutions:
seq(plot(S[0](c_0=a),x=-4..4,couleur=a+4),a,-4,4); plotfield(t*y^2,[t=-4..4,y=-2.5..2.5],normalize)
Idée de preuve: équation intégrale équivalente -> méthodes d'approximation numérique généralisant le champ des tangentes, suite de fonctions y_(n+1)(t)=y_n(t_0)+int(f(y_n(u),u),u,t0,t) dont il faut montrer la convergence.
2/ Méthodes de résolution explicite
-> Variables séparables y'=g(t)*h(y),
solutions particulières stationnaires: y=racine de h,
sinon
H(y)=G(t)+Cte, G primitive de g et H de 1/h
Cas favorable: on peut calculer y en fonction de t
cas général: équation implicite entre t et y, à tracer dans le plan des (t,y)
Exemple : résolution de y'=t*y^2,
3/ Cas particulier équations linéaires du 1er ordre homogène ( sans second membre):
-> : y=K*exp(H(t)), K reel.
Exemple : y'=t*y
4/ Equations linéaires du 1er ordre avec second membre: méthode de variation de la constant, exemple y'=t*y-t
5/ Equation linéaire ordre n -> espace vectoriel de solutions, on peut montrer que c'est de dimension n en appliquant Cauchy-Lipschitz sur le système associé. Pas de méthode générale de résolution.
Avec second membre: solution particulière+solution générale homogène.
Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis): si f continument dérivable sur RxR^n il existe une solution maximale sur un intervalle ouvert en temps I passant par une condition initiale donnée.
Valable aussi sur ]t0,t1[x]y0,y1[
Deux solutions ne peuvent pas se croiser.
Ne dit rien sur l'intervalle en temps, qui peut être R, ]-inf,t1[, ]t0,+inf[, ]t0,t1[. Tout dépend si y tend vers l'infini en temps fini.
Exemple 1: y'=t*y^2, on a la solution nulle, les autres sont non nulles, donc on peut diviser par y^2 pour trouver les autres solutions.
Exemple 2: (Contrôle d'une solution par des solutions connues, pas de croisement), par exemple y'=y*(1-y), si 0<y(t0)<1 la solution y reste, y est croissante et majorée -> y converge en +infini, y'->0 donc y tend vers 1. allure du graphe d'une solution
Exemple 3: t*y'=y, attention parait régulier, mais il faut exprimer y' en fonction de t et y, y'=y/t et CL ne s'applique pas en 0 on a une infinité de solutions passant par (0,0) et pas de solution pour y(0)!=0.
Illustration machine (Xcas, calculatrices)
-> résolution exacte:
S:=desolve(y'=x*y^2)
-> champ des tangentes et exemple de solutions:
seq(plot(S[0](c_0=a),x=-4..4,couleur=a+4),a,-4,4); plotfield(t*y^2,[t=-4..4,y=-2.5..2.5],normalize)
Idée de preuve: équation intégrale équivalente -> méthodes d'approximation numérique généralisant le champ des tangentes, suite de fonctions y_(n+1)(t)=y_n(t_0)+int(f(y_n(u),u),u,t0,t) dont il faut montrer la convergence.
2/ Méthodes de résolution explicite
-> Variables séparables y'=g(t)*h(y),
solutions particulières stationnaires: y=racine de h,
sinon
H(y)=G(t)+Cte, G primitive de g et H de 1/h
Cas favorable: on peut calculer y en fonction de t
cas général: équation implicite entre t et y, à tracer dans le plan des (t,y)
Exemple : résolution de y'=t*y^2,
3/ Cas particulier équations linéaires du 1er ordre homogène ( sans second membre):
-> : y=K*exp(H(t)), K reel.
Exemple : y'=t*y
4/ Equations linéaires du 1er ordre avec second membre: méthode de variation de la constant, exemple y'=t*y-t
5/ Equation linéaire ordre n -> espace vectoriel de solutions, on peut montrer que c'est de dimension n en appliquant Cauchy-Lipschitz sur le système associé. Pas de méthode générale de résolution.
Avec second membre: solution particulière+solution générale homogène.
Re: mat307 2023/24
Linéaire à coefficients variables d'ordre n: si on connait une solution s(t), on peut se ramener à résoudre une équation d'ordre n-1 par une méthode de type variation de la constante, en posant y=K(t)s(t), z=K' va vérifier une équation d'ordre n-1. Exemple t^2/2*y''=y avec s(t)=t^2 => t*z'+4*z=0 => z=Ct^(-4) => K=C1 t^(-3) +C2
Linéaire à coefficient constant,
Homogène: équation caractéristique P(r)=0.
Prop: Si P a n racines simples r_1, .., r_j, ..., r_n l'espace vectoriel des solutions est engendré par les e^{r_j*t}
Exemple 1: y''+3y'-4y=0,
Exemple 2: y''+2y'+5y=0, et passage au réel
Exemple 3: y''+4y'+4y=0, pas assez de solutions
Idée de la démonstration
Prop: Si r racine multiple, remplacer "e^{r*t} m fois" par e^{r*t},t*e^{r*t}, ..., t^{m-1}*e^{r*t}
Exemple: y''+4y'+4y=0, vérification, généralisation: esquisse de preuve.
Résolution avec second membre: solution particulière+solution générale.
Méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière,
exemple dans un cas d'ordre 2: y''+3y'-4y=exp(t)
y=lambda_1*exp(-4t)+lambda_2*exp(t)
résolution de système linéaire en les lambda_j' en imposant lambda_1'*exp(-4t)+lambda_2'*exp(t)=0, puis en remplaçant on a lambda_1'*-4exp(-4t)+lambda_2'*exp(t)=second membre
J'ai renvoyé au poly pour le cas général. Les calculs sont assez pénibles, si le second membre est du type G(t)*exp(r*t), solution particulière de la même forme exp(r*t)*A(t) avec A de même degré que G + multiplicité de r dans le polynôme caractéristique, ce qui donne des calculs plus simples. Cas de l'exemple.
Principe de superposition pour trouver une solution particulière correspondant à une combinaison linéaire de seconds membres.
Linéaire à coefficient constant,
Homogène: équation caractéristique P(r)=0.
Prop: Si P a n racines simples r_1, .., r_j, ..., r_n l'espace vectoriel des solutions est engendré par les e^{r_j*t}
Exemple 1: y''+3y'-4y=0,
Exemple 2: y''+2y'+5y=0, et passage au réel
Exemple 3: y''+4y'+4y=0, pas assez de solutions
Idée de la démonstration
Prop: Si r racine multiple, remplacer "e^{r*t} m fois" par e^{r*t},t*e^{r*t}, ..., t^{m-1}*e^{r*t}
Exemple: y''+4y'+4y=0, vérification, généralisation: esquisse de preuve.
Résolution avec second membre: solution particulière+solution générale.
Méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière,
exemple dans un cas d'ordre 2: y''+3y'-4y=exp(t)
y=lambda_1*exp(-4t)+lambda_2*exp(t)
résolution de système linéaire en les lambda_j' en imposant lambda_1'*exp(-4t)+lambda_2'*exp(t)=0, puis en remplaçant on a lambda_1'*-4exp(-4t)+lambda_2'*exp(t)=second membre
J'ai renvoyé au poly pour le cas général. Les calculs sont assez pénibles, si le second membre est du type G(t)*exp(r*t), solution particulière de la même forme exp(r*t)*A(t) avec A de même degré que G + multiplicité de r dans le polynôme caractéristique, ce qui donne des calculs plus simples. Cas de l'exemple.
Principe de superposition pour trouver une solution particulière correspondant à une combinaison linéaire de seconds membres.
Re: mat307 2023/24
Cours 11 sur 13
EDO linéaires à coefficients constants.
Principe de superposition : application au calcul de solution particulière pour un second membre trigonométrique en utilisant les complexes.
Exemple: y''+2y'+5y=cos(w*t), calcul de l'amplitude et du déphasage de la solution particulière.
y''+y=cos(w*t), discussion en fonction de la valeur de w
Comportement asymptotique des solutions d'équations différentielles
cas 1: linéaires à coeff constants en dimension 1
Cas homogène:
Si toutes les racines de l'équation caractéristique sont de partie réelle < 0 alors convergence vers 0
Si <=0 et si les racines de partie réelle sont simples, les solutions sont bornées.
Exemples: y''+y=0, y''+y'+y=0, y''+3y'+2y=0, y''+4y'+4y=0 allure des solutions
Second membre périodique de type sin/cos(omega*t)
Régime permanent: toutes les solutions s'approchent d'une solution particulière si parties réelles des racines<0
Cas d'une partie réelle nulle (simple): fonction bornée sauf si i*omega est solution de l'équation caractéristique -> résonance.
cas 2: équations autonomes y'=f(y), solutions stationnaires, monotonie de y si la condition initiale est entre 2 racines consécutives de f. (fin la prochaine fois)
EDO linéaires à coefficients constants.
Principe de superposition : application au calcul de solution particulière pour un second membre trigonométrique en utilisant les complexes.
Exemple: y''+2y'+5y=cos(w*t), calcul de l'amplitude et du déphasage de la solution particulière.
y''+y=cos(w*t), discussion en fonction de la valeur de w
Comportement asymptotique des solutions d'équations différentielles
cas 1: linéaires à coeff constants en dimension 1
Cas homogène:
Si toutes les racines de l'équation caractéristique sont de partie réelle < 0 alors convergence vers 0
Si <=0 et si les racines de partie réelle sont simples, les solutions sont bornées.
Exemples: y''+y=0, y''+y'+y=0, y''+3y'+2y=0, y''+4y'+4y=0 allure des solutions
Second membre périodique de type sin/cos(omega*t)
Régime permanent: toutes les solutions s'approchent d'une solution particulière si parties réelles des racines<0
Cas d'une partie réelle nulle (simple): fonction bornée sauf si i*omega est solution de l'équation caractéristique -> résonance.
cas 2: équations autonomes y'=f(y), solutions stationnaires, monotonie de y si la condition initiale est entre 2 racines consécutives de f. (fin la prochaine fois)
Re: mat307 2023/24
Comportement des solutions d'équations autonomes y'=f(y): équilibre stable si f passe de positif à négatif en y=r, instable dans le cas contraire. Si f'(r)<0 stable, si f'(r)>0 stable.
Remarque: linéarisé de l'équation en un point d'équilibre, permet d'avoir une idée du comportement de y'=f(y)+g(t) près d'un point d'équilibre de y'=f(y) pendant un court intervalle de temps.
Autres méthodes de résolution explicite d'équations différentielles: constantes du mouvement:
* y'=f(x,y). S'il existe g telle que omega=g(dy-fdx) est exacte, les courbes integrales sont courbes de niveau du potentiel de omega. Exemple y'=-y/(x+y). Si omega n'est pas fermée, on peut chercher à la rendre fermée en utilisant un facteur intégrant.
* système conservatif en dimension 1 permet de remplacer m*x''=somme des forces en
1/2*m*x'^2+V(x)=E, équation à variables séparables,
Exemple: calcul de la période du pendule sans approximation, fait intervenir int(1/sqrt(cos(theta)-cos(theta0)),theta=0..theta0), on trouve numériquement une période 4% plus grande avec un angle initial theta0=pi/4
Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants:
Y'=A*Y homogène, Y dans R^d, ou Y'=A*Y+b(t) avec second membre
Dans le cas diagonalisable
A=P*D*P^(-1), D diagonale, Y'=A*Y+b, Y=P*Z, Z vérifie un système diagonal Z'=D*Z+P^-1*b, résolution, puis Y=P*Z.
Exemple: A:=[[1,-1],[2,4]] résolution sans puis avec second membre b=[exp(t),0]
Si n=2, A=[[a,b],[c,d]], Y=[x,y], on peut se ramener à une équation d'ordre 2 en x si b!=0 par substitution. On observe que son équation caractéristique est le polynome caractéristique de la matrice A. Ceci permet de traiter les cas où A n'est pas diagonalisable.
Remarque: linéarisé de l'équation en un point d'équilibre, permet d'avoir une idée du comportement de y'=f(y)+g(t) près d'un point d'équilibre de y'=f(y) pendant un court intervalle de temps.
Autres méthodes de résolution explicite d'équations différentielles: constantes du mouvement:
* y'=f(x,y). S'il existe g telle que omega=g(dy-fdx) est exacte, les courbes integrales sont courbes de niveau du potentiel de omega. Exemple y'=-y/(x+y). Si omega n'est pas fermée, on peut chercher à la rendre fermée en utilisant un facteur intégrant.
* système conservatif en dimension 1 permet de remplacer m*x''=somme des forces en
1/2*m*x'^2+V(x)=E, équation à variables séparables,
Exemple: calcul de la période du pendule sans approximation, fait intervenir int(1/sqrt(cos(theta)-cos(theta0)),theta=0..theta0), on trouve numériquement une période 4% plus grande avec un angle initial theta0=pi/4
Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants:
Y'=A*Y homogène, Y dans R^d, ou Y'=A*Y+b(t) avec second membre
Dans le cas diagonalisable
A=P*D*P^(-1), D diagonale, Y'=A*Y+b, Y=P*Z, Z vérifie un système diagonal Z'=D*Z+P^-1*b, résolution, puis Y=P*Z.
Exemple: A:=[[1,-1],[2,4]] résolution sans puis avec second membre b=[exp(t),0]
Si n=2, A=[[a,b],[c,d]], Y=[x,y], on peut se ramener à une équation d'ordre 2 en x si b!=0 par substitution. On observe que son équation caractéristique est le polynome caractéristique de la matrice A. Ceci permet de traiter les cas où A n'est pas diagonalisable.
Re: mat307 2023/24
Dernier cours:
Systèmes différentiel linéaires:
Vérification de calculs avec la calculatrice: shift-2 (Mat) saisie de matrice, recherche valeurs/vecteurs propres, desolve pour un système.
Allure des courbes en dimension 2 (en lien avec l'exo 3.6 du TP).
Comportement à l'infini des systèmes homogènes: comme pour les équas diff en remplaçant racine de l'équation caractéristique par valeur propre, si parties réelles < 0 convergent vers 0, si <=0 et diagonalisable, solutions bornées.
Autre méthode de résolution: constante du mouvement, cf. poly
Introduction au calcul variationnel:
Lagrangien L(x,x',t) (attention j'ai noté x point en cours, pas x' mais sur ce forum je ne sais pas faire un x point...), action S, exemple: lagrangien de la mécanique classique=énergie cinétique-potentiel, par exemple q*potentiel électrique
Equations d'Euler-Lagrange pour minimiser S sur les chemins d'extrémités fixées vus comme courbes paramétrées par le temps avec paramètres fixé aux extrémités.
Exemple:
lagrangien de la mécanique classique, les équations d'Euler-Lagrange redonnent m*accélération=forces
longueur d'arc paramétrée -> lagrangien=norme de la vitesse, les équations d'Euler-Lagrange donnent vecteur tangent constant.
Exemple en polaire pour le problème à 2 corps, conservation du moment cinétique
Cas où L ne dépend pas explicitement du temps: conservation du hamiltonien associé au lagrangien L
Systèmes différentiel linéaires:
Vérification de calculs avec la calculatrice: shift-2 (Mat) saisie de matrice, recherche valeurs/vecteurs propres, desolve pour un système.
Allure des courbes en dimension 2 (en lien avec l'exo 3.6 du TP).
Comportement à l'infini des systèmes homogènes: comme pour les équas diff en remplaçant racine de l'équation caractéristique par valeur propre, si parties réelles < 0 convergent vers 0, si <=0 et diagonalisable, solutions bornées.
Autre méthode de résolution: constante du mouvement, cf. poly
Introduction au calcul variationnel:
Lagrangien L(x,x',t) (attention j'ai noté x point en cours, pas x' mais sur ce forum je ne sais pas faire un x point...), action S, exemple: lagrangien de la mécanique classique=énergie cinétique-potentiel, par exemple q*potentiel électrique
Equations d'Euler-Lagrange pour minimiser S sur les chemins d'extrémités fixées vus comme courbes paramétrées par le temps avec paramètres fixé aux extrémités.
Exemple:
lagrangien de la mécanique classique, les équations d'Euler-Lagrange redonnent m*accélération=forces
longueur d'arc paramétrée -> lagrangien=norme de la vitesse, les équations d'Euler-Lagrange donnent vecteur tangent constant.
Exemple en polaire pour le problème à 2 corps, conservation du moment cinétique
Cas où L ne dépend pas explicitement du temps: conservation du hamiltonien associé au lagrangien L