indications correction juin2025

[parisse]

https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... juin25.pdf

1.1/ Période 2*pi (évident), x est paire, y impaire, symétrie Ox
1.2/ Définie sur [0,pi] donc pas de branche infinie
1.3/ x'=0 ssi sin(t)=sin(2t),y'=0 ssi cos(t)=cos(2t), donc point singulier ssi t et 2t ont même sinus et même cosinus, donc sont égaux mod 2*pi. SSur [0,pi] la seule solution à 2t=t+2*k*pi est t=0 (obtenue pour k=0 puisque t=2*k*pi). Attention sin(t)=sin(2t) seul possède 2 solutions t=2t+2*k*pi et t=2*k*pi+pi-2t
En t=0, on calcule x''=-2cos(t)+4cos(2t)=2 et y''=0, donc tangente horizontale.
1.4/ x' s'annule aussi sur [0,pi] lorsque 3t=pi+2*k*pi, soit pour k=0 en pi/3
y' s'annule aussi sur [0,pi] lorsque t=-2t+2*k*pi, soit 3t=2*k*pi, donc pour k=1, t=2*pi/3
X:=2*cos(t)-cos(2t)
Y:=2*sin(t)-sin(2t)
tabvar([X,Y],t) donne les valeurs et les signes entre les annulations de x' et y' et le double tableau de variations.
1.5/ plotparam([X,Y],t,0,pi) permet de tracer la partie supérieure de la cardioide, et on complète par symétrie, ou bien directement plotparam([X,Y],t,0,2*pi), sens de parcours le sens trigonométrique. Faire apparaitre sur le graphe une tangente horizontale en (1,0) (point singulier à t=0), une tangente verticale en (3/2,sqrt(3)/2) et une tangente horizontale en (-1/2,3*sqrt(3)/2).
1.6/ 2*integrate(sqrt(diff(X,t)^2+diff(Y,t)^2),t,0,pi)=16 (longueur paraissant raisonnable sur le graphique)
Le calcul est faisable à la main, on développe 4(-sin(t)+sin(2t))^2+4*(cos(t)-cos(2t))^2=8-8*(sin(t)sin(2t)+cos(t)cos(2t))=8-8*cos(t)=8*(1-cos(t))=8*2*sin(t/2)^2
donc integrale de 4*abs(sin(t/2)) entre 0 et pi, on peut enlever la valeur absolue, il reste -4*2*cos(t/2) entre 0 et pi
1.7/ x'(pi/2)=-2, y'(pi/2)=2, donc T=1/sqrt(2)*(-1,1) dirigé vers le haut et la gauche et N=1/sqrt(2)*(-1,-1) vers le bas et la gauche. Les autres calculs se font en appliquant les formules, on trouve courbure=3*sqrt(2)/8, rayon 4*sqrt(2)/3, centre de courbure (-1/3,2/3).
1.8/ Par Green-Riemann, integrale curviligne de x*dy le long de la courbe sur une période (t de 0 à 2*pi, courbe orientée dans le sens trigo)
integrate(X*diff(Y,t),t,0,2*pi) donne 6*pi (environ 18.85, parait raisonnable sur le graphique)

2.1/ équation différentielle linéaire du 2ème ordre à coefficients constants.
Solution générale en résolvant l'équation caractéristique qui a deux racines a+2 et a+3 donc
A*exp((a+2)*t)+B*exp((a+3)*t)
2.2/ x(0)=0 donc B=-A, puis x'(0)=(a+2)*A+(a+3)*B=-A=1 donc
-exp((a+2)*t)+exp((a+3)*t)
2.3/ exp((a+3)*t) domine exp((a+2)*t) donc (sauf pour B=0) la solution est bornée si a+3<=0 soit a<=-3
Pour B=0, on doit avoir a<=-2
2.4 /-5+2=-3 et -5+3=-2 donc avec 2.2 on a la forme de l'énoncé
Pas de symétrie, pas de périodicité.
x' s'annule lorsque y=x'=0 soit -2*exp(-2t)+3*exp(-3t)=0 ou exp(t)=3/2 donc t=ln(3/2) (tangente verticale), avant x'>0, après x'<0
y'=4*exp(-2t)-9*exp(-3t) s'annule si exp(t)=9/4 donc t=ln(9/4) (tangente horizontale), il est négatif avant et positif après.
On vérifie avec X:=exp(-2t)-exp(-3t); Y:=diff(X,t); tabvar([X,Y],t)
2.5/ Lorsque t->-inf, exp(-3t) domine donc y/x tend vers -3, et y+3x=10*exp(-2t) tend vers l'infini, branche parabolique de direction y=-3*x (pente -3) avec x qui tend vers -inf et y vers +inf (on est en haut à gauche, selon la droite y=-3*x, en s'en éloignant vers le haut)
2.6/ Lorsque t->+inf, c'est exp(-2t) qui domine, x et y tendent vers 0, et y/x tend vers -2, on a donc une tangente d'équation y=-2*x en (0,0) point limite de la courbe. On s'approche du point limite depuis le bas et la droite (car x est positif proche de 0 et y négatif proche de 0).
2.7/ On part donc en t=-inf de la branche parabolique y=-3*x coin haut gauche, on va vers la tangente verticale en t=ln(3/2) au point(4/27,0) (y est nul puisque y=x') un peu à droite de l'origine sur l'axe Ox, puis vers la tangente horizontale en t=ln(9/4) au point (80/729,-32/243), entre l'origine et la tangente verticale, un peu en-dessous, puis on remonte et on va vers la gauche jusqu'au point limite en l'origine avec une pente de -2.