Le forum de XCAS

Cours 1 et 2/13 (mercredi 2/9 et vendredi 4/9)
Présentation du module.
1er chapitre Courbes paramétrées:
Motivation: graphes de fonction insuffisant, cinématique
Définition de courbe paramétrée sur un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Cas particulier t=x pour les fonctions. Différentes paramétrisations possibles pour une meme courbe géométrique
Propriétés géométriques (indépendantes de la paramétrisation) vs cinématiques, par ex. tangente et vitesse.
Plan étude, généralisation des graphes de fonctions
1/ domaine de définition, 2/ domaine d'étude: restriction par parité ou/et périodicité, 3/ étude aux bornes de l'intervalle, asymptote, 4/ recherche des variations (f' pour les courbes), 5 ou 6/ raffinement optionnel: convexité, 6 ou 5/ tableau de variations 7 ou 6/ tracé.
Exemple y=f(x)=sqrt(x^4+1)/x

Passage aux courbes paramétrées:
1/ Domaine,
2/ domaine d'étude, restriction du domaine d'étude par parité, par périodicité. Exemple pour x=cos(t), y=sin(2t)
3/ Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini. Recherche d'asymptote oblique si x et y tendent vers l'infini.
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1), recherche des asymptotes obliques en t=-+inf (branche para) et t=-1/2 x+y=-3/4
4/ Etude locale en t0
Def point regulier si la vitesse est non nulle. J'ai oublié de dire que non regulier=singuler
La tangente est portée par la vitesse si elle est non nulle.
Si x'=0 ou y'=0 tangente verticale ou horizontale.
Si v=0
Si l'accélération est non nulle la tangente est portée par l'accélération et on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus accélération (-8,10)
5/ Double tableau de variations et 6/ tracé de l'exemple avec points remarquables/asymptote et sens.
On voit graphiquement qu'il y a un point d'inflexion t>0 (apres la tangente verticale) => jeudi prochain.
N.B.: L'appel à plotparam crée automatiquement des variables x1, y1, x2, y2 qui contiennent les valeurs des dérivées 1ères et seconde de x(t) et y(t), utiles pour l'étude analytique.

cours 3/13 du 10 septembre
Position d'une courbe par rapport à la tangente/convexité/inflexion.
Cas d'une graphe où on se déplace vers les x croissants (comme un graphe de fonction), si la pente m=y'/x' croit, dérivée positive => convexe, inflexion analytique si m'=0. Cela revient à det(vitesse,acceleration)>0.
Point régulier: v!=0, point singulier v=0, point birégulier det(v,a)!=0. Justification de la convexité en calculant les coordonnées d'un segment d'arc dans le repère (v,a).
Exemple en t=-1/2
Cas d'un point singulier: étude en fonction de la parité de p et q (non exigible en examen), premières dérivées formant un repère. Cas générique, p=2 et q=3.
Exemple X:=2t+1/(2t+1); Y:=t^2-1/(2t+1) en t=-1: avec les dérivées ou avec un D.L. en posant t=-1+h, rebroussement de 1ère espèce.

Courbes en polaires (début):
définition, attention r(theta) peut être négatif!
plan d'étude comme en paramétriques: domaine de définition, d'étude avec les symétries/périodicité.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta)), symétrie Ox et domaine 0,pi sauf en 2*pi/3

Courbes en polaires:
=================
Branches infinies en un theta0 fini, si r tend vers l'infini, calcul de limite r*sin(theta-theta0)=l, si l est fini asymptote Y=l dans le repère tourné de theta0. Si l=infini on a une branche parabolique de direction asymptotique faisant un angle theta0.
Exemple avec 1/(1+2*cos(theta))

étude locale
Calcul de la "vitesse" r'*e_r+r*e_theta
Attention vitesse cinématique, multiplier par d theta/dt
Point régulier tan(V)=r/r', V=(e_r,tangente), pi/2 si r'=0
Point singulier si r=r'=0, en l'origine uniquement. Tangente portée par e_r. Rebroussement génériquement, cas général selon la parité de la 1ère dérivée de r qui s'annule.

Tableau de variations, tracé
Exemple 1/(1+2*cos(theta)))

Inflexion analytique: 1/r+(1/r)''=0

Tutoriel utilisation des calculatrices (1ère partie): allumer/éteindre/touche MENU et lancement de Xcas. Menus rapides F1 à F3, accès à l'aide, menu complet avec F4, touche F5 pour bloquer en mode alphabétique minuscule, touche ALPHA pour taper un caractère alphabétique majuscule. Exemple du tracé en polaire de 1/(1+2*cos(theta)).

Complément sur les coniques, définies comme r(theta)=A/(1+e*cos(theta)), e=excentricité, e=2 exemple étudié précédemment, e=0 cercle.
Si e<1, alors défini partout, tangente verticales en theta=0 et pi, tracé.
Equation cartésienne : c'est un cercle en x,Y si on pose Y=y/sqrt(1-e^2), demi-grand axe a=A/(1-e^2), dont le centre est décalé en abscisse de l'origine de a*e.

Cours 5 (sur 13) du 24 septembre
Propriétés métriques des courbes (début):
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantanée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt
Exemple: segment, arc de cercle, arc de parabole (t,t^2/2)
Remarque: il n'y a pas souvent de formule explicite -> calcul approché à la machine en donnant une des bornes sous forme d'un nombre approché (1.0 au lieu de 1 par exemple): integrate(sqrt(1+t^2),t,0,1.0)
Remarque: ne dépend pas du paramétrage choisi

Paramétrage par s, abscisse curviligne. Vecteur vitesse=vitesse scalaire*vecteur tangent, vecteur tangent=dM/ds.
Calcul de l'accélération d2M/dt^2, formule a=dv/dt*T+v^2*dT/ds
dT/ds est orthogonal a T, dT/ds= kappa * N, kappa la courbure et N le vecteur normal tel que (M,T,N) soit orthonormé direct, c'est le repère de Frenet. Rayon de courbure=abs(1/kappa)

Formules pour le calcul de la courbure/rayon de courbure et repère de Frenet en paramétriques en un point non singulier.
Exemple: cercle et justification du nom rayon de courbure, arc de parabole.

Tutoriel d'utilisation de la calculatrice: plotpolar/plotparam. En utilisant plotparam, la calculatrice définit des variables x0,x1,x2,y0,y1,y2 contenant x(t) et ses dérivées et y(t) et ses dérivées, ce qui permet facilement de vérifier les points d'inflexion solve(x1*y2-x2*y1=0) ou calculer la courbure. On peut aussi utiliser la commande courbure (F4 Courbes) et d'autres commandes pour vérifier des calculs, par exemple tabvar (F4 Analyse).

Cours 6 (sur 13) du 1/10:
Illustration du cercle osculateur, génériquement la courbe traverse le cercle osculateu, du lieu des centre=développée, des cercles osculateurs l'un dans l'autre, de l'enveloppe des normales = la développée
Rappel Repère de Frenet, courbure, calcul en paramétrique. Calcul en coordonnées polaires.
Exemple de calcul complet courbure/centre cercle osculateur pour la parabole (t,t^2/2).
Sommet: point où la courbure est extrémale.

Formule kappa=d/ds(angle de T avec un axe fixe), formule dN/ds

Les centres des cercles osculateurs décrivent la développée. Calcul de la dérivée du centre du cercle osculateur sur la développée par rapport à l'abscisse curviligne, = d/ds(1/courbure)*vecteur normal à la courbe. La longueur parcourue sur la développée est la différence entre les rayons de courbure. Courbure extrémale => point singulier sur la développée.

Illustration: La notion d'enveloppe de famille de droites est commune avec l'optique: enveloppe de rayons lumineux -> caustique, illustration avec des rayons parallèles se réfléchissant sur un demi-cercle qui donnent une néphroïde.
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... hroide.xws

Illustration de la notion de développante (courbe dont la développée est donnée) sur le cas d'un cercle, c'est ici la courbe qu'on décrit si on déroule une bobine enroulée sur un cercle (en gardant le fil tendu):
viewtopic.php?f=32&p=13252#p13252

Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle par exemple) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2*kappa=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => on intègre puis T=(cos(theta),sin(theta))=dM/ds
Tracé à la machine: plotparam admet un complexe x(t)+i*y(t) au lieu de [x(t),y(t)]
plotparam(integrate(exp(i*u^2),u,0,s),s,0,2)

Remarque: utiliser un complexe z(theta)=r(theta)*exp(i*theta) peut aussi servir pour l'étude une courbe polaire

Jeudi 8 octobre, cours 7 sur 13:
Formes différentielles et intégrales curvilignes et application: recettes.
omega=Mdx+Ndy avec M N 2 fonctions de 2 variables (régulières)
Par exemple travail élémentaire d'une force F.dl
Autre exemple omega=dV,
omega mange des vecteurs, tangents à la courbe sur lesquels on fera une intégrale curviligne,
Exemple dans l'exemple dx et dy 1ère et 2ème coordonnées d'un vecteur
Intégrale curviligne: on écrit dx=dx/dt*dt et dy=dy/dt*dt et on remplace x par x(t) et y par y(t).
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=x*dy
En général l'intégrale curviligne dépend du chemin suivi, mais il arrive que non, par exemple pour F.dl si F est conservative. Dans ce cas l'intégrale est une différence de potentiel V entre les extrémités de la courbe, avec omega=dV, on parle de forme différentielle exacte.
Pour avoir omega=dV, il faut que dM/dy=dN/dx (forme différentielle fermée). Si M et N régulières sur un domaine et la condition sur les dérivées croisées, alors omega=dV.
Exemple x*dy non, y*dx non, x*dy+y*dx OK, vérification de la formule différence de potentiel.
Calcul de V si omega est fermée, exemple :
ω=cos(x)cos(y)dx+(cos(y)−sin(y)(sin(x)+y))dy
Si omega est exacte, c'est techniquement plus simple de calculer une différence de potentiel qu'une intégrale curviligne.

Intégrales curvilignes sur un contour fermé et intégrale double: théorème de Stokes/Green-Riemann.
Application au calcul d'intégrales doubles: recherche de M et N, ils ne sont pas uniques, en général on prend un des deux nul.
calcul d'aire avec x*dy ou -y*dx ou 1/2*(-y*dx+x*dy), exemple aire de l'ellipse,

Exemple de forme fermée non exacte (-y*dx+x*dy)/(x^2+y^2), l'intégrale curviligne n'est pas nulle sur le cercle unité, Stokes ne s'applique pas car singularité en O.