cours 7/2

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parisse
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cours 7/2

Message par parisse » mer. févr. 07, 2007 8:27 am

Suites recurrentes
- definition suite recurrente, exemple avec f(x)=cos(x) et u0=0.0
- interet: trouver une valeur approchee de l'equation f(l)=l
- graphe en toile d'araignee, observation d'un cas avec 0<=f'(l)<1 et d'un cas avec f'(l)>1, exercice propose: que se passe-t-il lorsque f'(l)<0?
- definition fonction contractante (f:[a,b] -> [a,b] inclus dans la definition),
- critere avec |f'|
- j'ai parle des pieges f([a,b]) != [f(a),f(b)] et f'!=|f'|
- exemple avec cos(x) sur [0,1]
- thm du point fixe et estimations |u_n-l|<=k^n|b-a| (demontree), |u_n-l|<=|u_{n+1}-u_n|/(1-k) (admise, peut etre fait en exercice pour les matheux)
- exemples a la machine (session xcas m249_2.xws sur ma page)
- convergence lineaire sur l'exemple de cos(l)=l (calcul du nombre de termes pour avoir l a 10^-5 et 10^-10 pres)
- comparaison de convergence vers sqrt(2) par g(x)=(2+x)/(1+x) et h(x)=1/2*(x+2/x),
- plus k est petit, plus la convergence est rapide->on essaie de diminuer k en changeant d'equation
- introduction de la methode de Newton: dessin de la tangente, calcul de la formule donnant u_{n+1} en fonction de u_n
- calcul de la derivee de x-f(x)/f'(x) en l = 0, c'est pour cela que la convergence est + rapide pres de l
- calcul de h(x) pour sqrt(2)
je n'ai pas encore donne les thm de convergence sur Newton.

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