cours 9/2/2010

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parisse
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cours 9/2/2010

Message par parisse » mar. févr. 09, 2010 5:26 pm

Représentation des objets mathématiques sur machine (fin):
- flottants dénormalisés (y différent de x mais y-x non représentable par un flottant normalisé), infini et NaN
Rapidement:
- calcul d'erreur trop fastidieux, utilisation de flottants multi-précision ou sensibilité à la variation des paramètres
- rationnels, algorithme d'Euclide
- complexes exacts et approchés
- symbole (nom de variable)
- opérateur/fonction, expression, évaluation
- conteneurs: listes et tables. Vecteurs, matrices (listes de listes de même taille), séquences, ensembles (set[,,]), polynomes à 1 variables (poly1[,,])
- autres types non détaillés (extensions algébriques, polynomes à plusieurs variables,...)

Chapitre 2: application des suites récurrentes (1ère partie)
Objectif résoudre f(x)=x (point fixe) ou f(x)=0, par ex. pour calculer sqrt(2) avec une calculatrice 4 opérations.
1/ Point fixe
- def. d'une suite récurrente
- si u_n converge et f continue en la limite alors l est solution de f(l)=l
- représentation graphique, visualisation graphique de convergence/divergence probable en lien avec la pente f'(l)
- def. fonction contractante sur un intervalle I=[a,b] f(I) inclus dans I et |f(x)-f(y)|<= k|x-y|, k<1
- critère pour les fonctions derivables |f'|<=k<1 sur I
- théorème du point fixe: existence et unicité de la solution de f(l)=l sur I, convergence de u_n vers l si u_0 est dans I, estimation |u_n-l|<= k^n|b-a|, |u_n-l|<=|u_(n+1)-u_n|/(1-k)
- preuve (pas eu le temps de faire la dernière estimation).

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