cours 23/2

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parisse
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cours 23/2

Message par parisse » mar. févr. 23, 2010 4:19 pm

Point fixe: minoration de |u_n-l| lorsque f'(l) non nul, le nombre de termes necessaire est proportionnel au ln de la precision. Necessite d'avoir f'(l)=0 pour aller plus vite.

Methode de Newton:
1/ representation graphique de la methode, calcul de u_(n+1) en fonction de u_n, Newton est un cas particulier de point fixe avec f'(r)=0, exemple avec x^2-2 et illustration de la vitesse de convergence quadratique
2/ thm de convergence si f est C^2 sur I contenant strictement r tel que f(r)=0 et f'(r)!=0, il existe eps>0 tel que u_n converge si u_0 appartient a [r-eps,r+eps]
3/ definition de convexite, critere f''>=0 pour f C^2 sur I
thm de convergence si f C^2 sur [r,b], f(r)=0, f'(r)>0, f''>=0, u_n converge si u_0 appartient a [r,b] en decroissant. De plus 0<= u_n-r <= f(u_n)/f'(r)
Remarque sur les erreurs d'arrondi qui deviennent importantes lorsque u_n s'approche de r.

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