cours 27/2

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parisse
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cours 27/2

Message par parisse » mer. févr. 28, 2007 9:13 am

- Taylor avec reste
- exemple de la fonction exponentielle, majoration du reste, convergence du reste, calcul pour |x|<1, reduction d'argument via exp(2x)=exp(x)^2 ou via exp(a*ln(2)+r), discussion sur l'erreur sur r, discussion sur la propagation des erreurs en calculant l'exponentielle
- exercice suggere (cf. aussi les TP): sin/cos
- exemple de fonctions pour lesquelles l'approche ne convient pas: (exp(x)-1)/x -> series entieres
- def. de serie entiere, somme partielle, convergence et reste si convergence. Exemple exp(x), et serie geometrique sum_k x^k, introduction sur ces exemples du rayon de convergence (existence admise) cv si |x|<R, dv si |x|>R
- thm de majoration du reste pour |x|<|x_0| lorsque |a_k x_0^k| <= M pour k>=rang donne n_0
idee de la preuve (en admettant la convergence)
- exemple si a_k=1, on peut prendre x_0=1 et M=1
- convergence lineaire, d'autant plus rapide que l'on est proche de 0 (et loin de R) -> pres de (et en) |x|=R, les series entieres n'ont pas d'interet pratique pour les calculs
- exercice suggere aux matheux: prouver l'existence de R avec le thm
- thm (admis) sur les operations (+,-,*,inv si a0!=0, composition si b0=0, derivation, integration)
- exemple:integration de sum_k x^k -> -ln(1-x), on peut aussi prendre a_k=1 et x_0=1, M=1 -> calcul de ln(2)=-ln(1-1/2)

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