cours 24/4

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parisse
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cours 24/4

Message par parisse » jeu. avr. 26, 2007 8:04 am

Algebre lineaire
1/ Algorithme du pivot de Gauss et applications:
- description de l'algorithme L_j <- L_j - alpha* L_i ou alpha =coeff/pivot
- choix du pivot: module maximal en calcul numerique pour avoir erreur absolue multipliee au plus par 2 a chaque reduction de colonne -> par 2^(n-1) a la fin de la reduction (j'ai dit qu'en pratique on observe plutot de l'ordre de 10). En calcul exact, choix du plus simple non nul, on choisit d'ailleurs plutot de faire L_j <- pivot*L_j-coeff*L_i pour eviter les fractions, j'ai dit (mais pas montre) qu'a la colonne suivante on peut alors toujours diviser par le pivot de la colonne precedente.
- application a la resolution de systeme, au calcul du determinant (attention au -1 pour les echanges de lignes)
- extraction d'une base d'un sous-espace donne par une famille generatrice
- calcul algorithmique d'une base du noyau
- calcul de l'inverse d'une matrice
- factorisation LU
- nombre d'operations en n^3

2/ Reduction des endomorphismes
- calcul du polynome caracteristique en n^4 par interpolation de Lagrange
- def et calcul en n^3 du polynome minimal relatif a un vecteur, si degre=n alors c'est le polynome minimal et le polynome caracteristique
- esquisse de la methode de la puissance pour calculer numeriquement la plus grande valeur propre en module d'une matrice telle que |lamba_{n-1} |< |lambda_n|

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