cours 1/2/2011

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parisse
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cours 1/2/2011

Message par parisse » mar. févr. 01, 2011 5:11 pm

0/ Presentation du module
I/ Suites récurrentes
1/ théorème du point fixe.
Définition suite récurrente, calcul, représentation graphique. Si (un) converge vers l et f continue, alors f(l)=l. Interet pour avoir une valeur approchée par exemple de sqrt(2).
Exemples : 1/ f(x)=x, 2/ f(x)=x^3/2, 3/ f(x)=2/x ne convergent pas graphiquement, 4/ f(x)=(x+2)/(x+1) semble converger, 5/ moyenne de 1/ et 3/ semble converger, et même très rapidement.
Définition de fonction contractante (j'ai mis f:I=[a,b]->I dans la définition en plus de |f(y)-f(x)|<=k|y-x| avec k<1). Critère avec f' si f dérivable.
Enoncé du théorème du point fixe et estimations |u_n-l|<=k^n|b-a|, |u_n-l|<=|u_{n+1}-u_n|/(1-k), example d'application avec (x+2)/(x+1), preuve.
Vitesse de convergence linéaire.
Remarques: -> Permet de résoudre certaines équations non résolubles analytiquement (par exemple recherche de V tel que V-e*sin(V)=t).
-> Comparaison avec la dichotomie (k=1/2), point fixe plus facile à généraliser en dim>1.

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