cours 8/2/2011

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parisse
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cours 8/2/2011

Message par parisse » mar. févr. 08, 2011 5:20 pm

Methode de Newton:
1/ representation graphique de la methode de resolution de f(x)=0, calcul de u_(n+1) en fonction de u_n sous la forme g(u_n), Newton est un cas particulier de point fixe avec g'(r)=0, calcul de g pour f(x)=x^2-2, x^k-a, x-e*sin(x)-alpha
2/ thm de convergence si f est C^2 sur I contenant strictement r tel que f(r)=0 et f'(r)!=0, il existe eta>0 tel que u_n converge si u_0 appartient a [r-eta,r+eta], estimation sur eta avec 1/(2*m*M), où m=max|1/f'| et M=max|f''| pres de r. Calcul de m et M pour f(x)=x^2-2, r=sqrt(2). Calcul difficile en général.
3/ definition de convexite, critere f''>=0 pour f C^2 sur I
thm de convergence si f C^2 sur [r,b], f(r)=0, f'(r)>0, f''>=0, u_n converge si u_0 appartient a [r,b] en decroissant. De plus 0<= u_n-r <= f(u_n)/f'(r). Variantes selon convexité/concavite et signe de f'(r).
Remarque sur les erreurs d'arrondi qui deviennent importantes lorsque u_n s'approche de r.

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