option C 2015/16

Utilisation à l'épreuve de modélisation de l'agrégation de mathématiques

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parisse
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Re: option C 2015/16

Message par parisse » mar. mars 22, 2016 2:33 pm

15/3: pas de seance (semaine des ecrits)

22/3: exercices parmi http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... gtplin.pdf

parisse
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Re: option C 2015/16

Message par parisse » mar. avr. 05, 2016 1:36 pm

29/3:
1/ Decomposition de Hermite et de Smith
Pour faire des operations elementaires inversibles dans Z (ou plus generallement un anneau euclidien), on ne peut pas faire L_k <- (m_{l,c} *L_k - m_{k,c}*L_l, on fait simultanement 2 operations de lignes en utilisant l'identite de Bezout entre a=m_{l,c} et b=m_{k,c}, a*u+b*v=d=pgcd(a,b)
L_k <- a/d*L_k - b/d*L_l et L_l <- v*L_k + u*L_l.
Comme pour le pivot de Gauss, on arrive ainsi a une forme reduite triangulare superieure U, mais cette fois-ci en multipliant a gauche par une matrice de GL(Z) (de determinant 1 ou -1), on notera cette matrice L (attention, elle n'est pas triangulaire inférieure, mais son analogue pour le pivot de Gauss le serait). Dans U, on peut un peu simplifier les coefficients de la partie superieure en faisant des manipulations du type
L_1<-L_1-qL_2 ou q est le quotient de A11 par A12
Cette forme dite de Hermite peut servir a calculer une Z-base d'un noyau et permet ainsi de resoudre des equations diophantiennes. On pose A la matrice dont on cherche le noyau, on calcule la forme de Hermite U de tran(A): L*tran(A)=U avec L inversible, on prend les lignes de L correspondant aux lignes nulles de U, elles forment une Z-base du noyau, cela vient de A*tran(L)=tran(U), les colonnes de tran(L) correspondant a des colonnes de tran(U) nulles sont bien dans le noyau, ces colonnes sont a coeff entiers, independantes (L est inversible), il y en a le bon nombre et si Av=0 alors A*tran(L)*tran(L^-1)v=0 donc tran(U)*tran(L^-1)v=0 donc les coordonnees du debut de tran(L^-1)v sont nulles, les autres sont entieres puisque tran(L^-1) est a coeff dans Z, on en deduit que v est combinaison lineaire a coeff entiers des colonnes de la fin de tran(L).

En faisant des manipulations sur les colonnes *et* sur les lignes on peut factoriser la matrice sous la forme U*S*V ou U et V sont inversibles dans Z et S est diagonale. On commence par creer des 0 dans la 1ere ligne, puis dans la 1ere colonne, puis a nouveau en 1ere ligne, etc. Le processus s'arrete parce que lorsqu'on cree un 0, le pivot est remplace par le pgcd du pivot avec l'element qu'on vient d'annuler, et soit il diminue, soit il n'est pas necessaire de faire une double manipulation de ligne (ou colonne) donc on ne detruit pas des 0 precedemment crees dans la colonne/ligne.
Lorsque les coefficients de S se divisent d1|d2|...|dn (avec 0 divisible par tout le monde), on a la forme de Smith (pour avoir d1|d2 il peut etre necessaire de faire C1<-C1+C2 et creer un zero). Les dk sont les facteurs invariants de la matrice de depart. Les facteurs premiers de dk permettent de trouver les diviseurs elementaires et d'obtenir la structure d'un groupe abelien de type fini.
Exemple recherche de la structure du groupe abelien defini par les generateurs x1 et x2 et les relations 2x1+4x2=0 et -2x1+6x2=0, on pose A:=[[2,4],[-2,6]] puis U,B,V:=ismith(A), on en deduit que les diviseurs elementaires sont 2 et 10 donc G est isomorphe a Z/2*Z/10, avec comme generateurs V^(-1)*[x1,x2] soit y1=x1+2x2 et y2=x2 (on a bien 2y1=0 et 10y2=0).

2/ Code correcteur: voir la section 14.4 de la doc de Xcas.

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Re: option C 2015/16

Message par parisse » mar. avr. 05, 2016 1:46 pm

5/4: texte du jury sur la recherche de parametrisation rationnelle d'une courbe implicite.
Quelques idees pour le dvpt:
parametrisation rationnelle d'une conique (ne rentre pas dans le cadre du thm)
discuter le nombre de points singuliers (en general 0, des valeurs isolees du parametre si on a une famille de courbes dependant d'un parametre).
programme de recherche des points singuliers de C: recherche de r1:=resultant(C,diff(C,x)); r2:=resultant(C,diff(C,y)); solve(gcd(r1,r2),y) donne les ordonnees, puis solve(gcd(C(y=sol),diff(C,x)(y=sol),diff(C,y)(y=sol)),x) donne les abscisses.
Representer une des courbes par exemple le trifolium et quelques coniques pour differentes valeurs du parametre pour illustrer le theoreme.
Faire des comptages de multiplicite/degres pour montrer que les resultants en y et en x n'auront qu'un facteur de degre 1 en x ou en y permettant de determiner x et y en fonction de t.
Expliquer l'allure locale des points singuliers (les pentes t des tangentes sont racines du 1er polynome de Taylor qui ne s'annule pas au point critique en posant y=t*x, ce n'est pas limite a des courbes d'equations polynomiales).
Conclusion possible: le texte ne permet de traiter que quelques courbes exceptionnelles, il a un tres grand interet theorique mais peu d'interet en pratique pour representer des courbes implicites contrairement au resultat sur l'allure locale en 1 point singulier.

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