Tangente a la courbe representative d'une fonction

Utilisation à l'épreuve de modélisation de l'agrégation de mathématiques

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JACQUOT
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Tangente a la courbe representative d'une fonction

Message par JACQUOT » mer. juil. 01, 2009 4:25 pm

Bonjour et encore merci pour votre aide précieuse.
Sujet:
Le plan est rapporté à au repère orthonormé.
Soient les droites (d1) et (d2) d'équations respectives :
y=5/4*(x+1) et y=5/(4*exp(1))*(x+5).
Déterminer les nombres réels x1 et x2 distincts tels que la courbe représentative de la fonction f :
x->c*exp(k*x) avec c et k contantes réelles admette (d1) pour tangente au point d'abscisse x1 et (d2) pour tangente au point d'abscisse x2.
Question:
J'ai considéré
f(x):=c*exp(k*x) et df(x):=c*exp(k*x)*k
Puis essayé de résoudre sans résultat le système de 4 équations à 4 inconnues:
df(x1)=5/4 ;df(x2)=5/(4*exp(1)) ; f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ;f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))
Avez-vous une méthode xcas qui aboutisse?
Bonnes vacances à tous.

parisse
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Re: Tangente a la courbe representative d'une fonction

Message par parisse » jeu. juil. 02, 2009 11:15 am

bonjour,

on ne peut pas utiliser solve dans ce cas, car le systeme n'est pas polynomial par rapport aux variables x1,x2,k,c (en fait x1 et x2 apparaissent a la fois dans et en-dehors d'exponentielles). Donc je suis parti d'une solution obtenue par fsolve:
f(x):=c*exp(k*x) ;df(x):=c*exp(k*x)*k ;
fsolve([df(x1)=5/4 ,df(x2)=5/(4*exp(1)) ,f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ,f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))],[x1,x2,k,c],[0,1,1,1])
qui me renvoie [3.0,-1-1.75392976201e-10*i,0.25,2.36183276371-1.26576045969e-10*i]
donc j'essaie si par hasard x1=3, x2=-1, k=1/4 est solution
[x1,x2,k]:=[3,-1,1/4]
puis on cherche c avec solve
C:=solve(df(x1)=5/4,c);evalf(C)
qui renvoie [5/(exp(3/4))],[2.36183276371]
ensuite il faut verifier toutes les equations, graphiquement ca a l'air de marcher!
plot(f(x),x=-4..4),droite(y=5/4*(x+1)),droite(y=5/(4*exp(1))*(x+5)
On peut aussi faire
simplify(solve([df(x1)=5/4 ,df(x2)=5/(4*exp(1)) ,f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ,f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))],c)
et voir que c'est la meme solution pour les 4 equations.

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