Bonjour et encore merci pour votre aide précieuse.
Sujet:
Le plan est rapporté à au repère orthonormé.
Soient les droites (d1) et (d2) d'équations respectives :
y=5/4*(x+1) et y=5/(4*exp(1))*(x+5).
Déterminer les nombres réels x1 et x2 distincts tels que la courbe représentative de la fonction f :
x->c*exp(k*x) avec c et k contantes réelles admette (d1) pour tangente au point d'abscisse x1 et (d2) pour tangente au point d'abscisse x2.
Question:
J'ai considéré
f(x):=c*exp(k*x) et df(x):=c*exp(k*x)*k
Puis essayé de résoudre sans résultat le système de 4 équations à 4 inconnues:
df(x1)=5/4 ;df(x2)=5/(4*exp(1)) ; f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ;f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))
Avez-vous une méthode xcas qui aboutisse?
Bonnes vacances à tous.
Tangente a la courbe representative d'une fonction
Modérateur : xcasadmin
Re: Tangente a la courbe representative d'une fonction
bonjour,
on ne peut pas utiliser solve dans ce cas, car le systeme n'est pas polynomial par rapport aux variables x1,x2,k,c (en fait x1 et x2 apparaissent a la fois dans et en-dehors d'exponentielles). Donc je suis parti d'une solution obtenue par fsolve:
f(x):=c*exp(k*x) ;df(x):=c*exp(k*x)*k ;
fsolve([df(x1)=5/4 ,df(x2)=5/(4*exp(1)) ,f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ,f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))],[x1,x2,k,c],[0,1,1,1])
qui me renvoie [3.0,-1-1.75392976201e-10*i,0.25,2.36183276371-1.26576045969e-10*i]
donc j'essaie si par hasard x1=3, x2=-1, k=1/4 est solution
[x1,x2,k]:=[3,-1,1/4]
puis on cherche c avec solve
C:=solve(df(x1)=5/4,c);evalf(C)
qui renvoie [5/(exp(3/4))],[2.36183276371]
ensuite il faut verifier toutes les equations, graphiquement ca a l'air de marcher!
plot(f(x),x=-4..4),droite(y=5/4*(x+1)),droite(y=5/(4*exp(1))*(x+5)
On peut aussi faire
simplify(solve([df(x1)=5/4 ,df(x2)=5/(4*exp(1)) ,f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ,f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))],c)
et voir que c'est la meme solution pour les 4 equations.
on ne peut pas utiliser solve dans ce cas, car le systeme n'est pas polynomial par rapport aux variables x1,x2,k,c (en fait x1 et x2 apparaissent a la fois dans et en-dehors d'exponentielles). Donc je suis parti d'une solution obtenue par fsolve:
f(x):=c*exp(k*x) ;df(x):=c*exp(k*x)*k ;
fsolve([df(x1)=5/4 ,df(x2)=5/(4*exp(1)) ,f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ,f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))],[x1,x2,k,c],[0,1,1,1])
qui me renvoie [3.0,-1-1.75392976201e-10*i,0.25,2.36183276371-1.26576045969e-10*i]
donc j'essaie si par hasard x1=3, x2=-1, k=1/4 est solution
[x1,x2,k]:=[3,-1,1/4]
puis on cherche c avec solve
C:=solve(df(x1)=5/4,c);evalf(C)
qui renvoie [5/(exp(3/4))],[2.36183276371]
ensuite il faut verifier toutes les equations, graphiquement ca a l'air de marcher!
plot(f(x),x=-4..4),droite(y=5/4*(x+1)),droite(y=5/(4*exp(1))*(x+5)
On peut aussi faire
simplify(solve([df(x1)=5/4 ,df(x2)=5/(4*exp(1)) ,f(x1)-x1*df(x1)=5/4 ,f(x2)-x2*df(x2)=25/(4*exp(1))],c)
et voir que c'est la meme solution pour les 4 equations.