complexes et lieu géométrique

[JACQUOT]

Je cherche une solution élégante au problème:
z'=z^2/(i-z)
affixe(M)=z dans repere(O,u,v) orthonormé
affixe(A)=i
affixe(M')=z'
1)déterminer les points M confondus avec leurs images
2)déterminer l'ensemble E des points M dont l'image est situé sur l'axe des imaginaires purs
3)trouver une relation liant les longueurs OM,AM,OM'
en déduire l'ensemble F des points M du plan tels M et M' soit situés sur un même cercle de centre O
4)dans cette question M est situé sur le cercle de centre A et de rayon 1/2 et G est l'isobarycentre des points A,M,M'
a)déterminer l'ensemble des point G
b)comparer les angles (u,OG) et (u,AM)
c)construire G puis M'
d)déterminer l'ensemle des points M'
Ma solution:
f(z):=z^2/(i-z)
solve(f(z)=z,z)
z:=x+i*y
numer(simplify(re(f(z)))/x
coordonnees(centre(cercle(ans()))
rayon(cercle(ans(-2))
abs(z);abs(z-i);abs(f(z))
abs(z^)^2/abs(z-i)
simplify(abs(z)^abs(z-i)^2
Alt+g
assume (t=0)
M:=elemenr(cercle(i,1/2)
M1:=point(simplify(affixe(M))));lieu(M1,M)
G:=isobarycentre(i,affixe(M),simplify(f(affixe(M))))
lieu(G,M)
simplify(arg(affixe(G)))
simplify(arg(affixe(M)-i)))
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[parisse]

Quelques suggestions:

solve(f(z)=z,z)

csolve au lieu de solve assure qu'on ne rate pas i/2 meme en mode reel.

z:=x+i*y
numer(simplify(re(f(z)))/x

factor(re(f(x+i*y))
evite de definir z, et ensuite poser
eq:=numer(factor(re(f(x+i*y))/x)
pour pouvoir ecrire
C:=cercle(eq), coordonnees(centre(C)), rayon(C)

A mon avis la question 3 se fait sans logiciel. On peut verifier avec
factor(simplify(abs(f(x+i*y))^2-abs((x+i*y)^2))

Pour le 4, on cree un curseur formel avec le menu Edit->Ajouter parametre, par exemple ca donne
assume(a=[-1.3,-5,5,0.1]);
puis
A:=point(i);
c:=cercle(A,1/2);
M:=element(c,a);
M1:=point(f(affixe(M));
G:=isobarycentre(M,M1,A);
lieu(G,a);
trace(M1);
on peut aussi faire lieu(M1,a)
simplify(affixe(G)) montre que le lieu est un cercle, alors que simplify(abscisse(M1)); simplify(ordonnee(M1)) montre que le lieu est une ellipse. Par contre, soit je me suis trompe quelque part, soit il y a un bug dans l'enonce, car ca me parait complique comme reponse, et je ne vois pas bien a quoi sert G.

[JACQUOT]

2)Pour le lieu du point G ,X cas trouve le cercle de centre O et de rayon 2/3 d'équation 144*x^2+144*y^2-64=0
4)Pour le lieu du point M1, X cas trouve l'ellipse d'équation 0=100*x^2+36*y^2+144*y-81
Ces résultats sont conformes aux attentes ,je ne vois pas de bug dans l'énoncé.
Par contre pour définir le point M sur le cercle de centre A et de rayon 1/2 j'ai écrit M:=element(cercle(i,1/2),t)
Merci pour vos précieux conseils afin d'éviter des lourdeurs dans les instructions.

[alb]

Il faudrait peut-être déplacer ce fil ?
Pour illustrer la construction du point M' j'ai pensé à ce script de geo2d:

Code : Tout sélectionner

O:=point(0);
A:=point(i);
vecteur(0,1,affichage=epaisseur_ligne_2);
t:=element([0 .. 6.2832,0.31416,0.062832]);
z:=i+1/2*exp((i)*t);
M:=point(z);
I:=milieu(A,M);
Z:=z^2/(i-z);
Mp:=point(Z);
segment(I,Mp);
trace(couleur(M,bleu));
trace(couleur(Mp,rouge));
G:=isobarycentre(A,M,Mp);
simplifier(affixe(G));
trace(couleur(G,vert));
angle(0,1,G,"-t");
simplifier(angle(0,1,G,"")[0]);
angle(i,1/2+i,M,"t");
simplifier(angle(i,1/2+i,M,"")[0]);
ep:=epaisseur_ligne_3;
segment(I,G,color=1+ep);
segment((G+Mp)/2,G,color=2+ep);
segment((G+Mp)/2,Mp,color=1+ep);

Il me semble que c'est un ex de la série S. En quelle année ?
La question 4d faisait-elle partie du sujet ?
Je ne vois pas comment un élève pouvait déterminer la nature du lieu de M'

[alb]

1/ En Geo2d je fais
t:=element(0..pi);
angle(0,1,exp((i)*t),"t");
angle(0,1,e^(-i*t),"-t");
Il me semble que la legende du premier angle reste au même endroit alors que celle du second bouge avec la valeur de l'angle.
2/Pourquoi, si t est symbolique, dans les réponses bleues atan((sin(t))/(cos(t))) n'est-il pas simplifié ?