mat237 2014/15

Forum destiné aux étudiants de l'UGA (Université Grenoble-Alpes)

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parisse
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Message par parisse » jeu. sept. 11, 2014 8:34 am

Cours du 10 et 11/09:
Presentation du module.
Courbes parametrees:
1/ motivation: graphes de fonction insuffisant, cinematique
2/ definition de courbe parametree sur un intervalle ou une reunion d'intervalles, differents parametrages peuvent donner la meme courbe. Exemples graphe fonction, (t,f(t)) et (t-1,f(t-1)), cercle (cos(t),sin(t)) et parametrage rationnel par intersection avec y=t*(x+1), illustration avec Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2371.xws, le changement de parametre effectue un parcours de la courbe a une vitesse variable par rapport au parametrage trigonometrique.
3/ representation graphique par logiciel: discretisation tmin, tmax, tstep. Imfluence du choix de tstep sur le cout de calcul et la precision. On peut manquer des particularites de la courbe si tstep est trop grand. Interet de faire une etude analytique pour comprendre les particularites de la courbe, le trace par logiciel sert a verifier.
4/ Etude analytique
4.1 domaine de definition
4.2 Restriction eventuelle par symetrie/periodicite
4.3 Etude des branches infinies si x ou y -> infini. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini. Recherche d'asymptote oblique si les 2 tendent vers l'infini, lim(y/x)=a si a<>0, lim y-a*x. Branche parabolique si a=0 ou a=infini (je n'ai pas parle de parabole asymptote).
4.4 Etude locale en t0, regularite au moins C2
tangente/vitesse non nulle/point regulier
Def point singulier, generiquement une courbe n'a pas de point singulier, mais une famille de courbes peut en avoir pour certaines valeurs du parametres, illustration avec Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2374.xws
Point biregulier, caracterisation par x'y"-x"y' <> 0 ou par m=y'/x' et m'<>0, signe de m' et convexite.
Tangente en un point singulier: 1er ordre p tel que (x^[p],y^[p]) <>0
Nature d'un point singulier, 1er ordre q>p tel que derivees non colineaires, et discussion selon la parite de p et q. Generiquement un point singulier est un point de rebroussement de 1ere espece.
4.5 Double tableau de variations de x et y en fonction de t, puis trace
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1). Pris par le temps a la fin, j'ai trace la courbe de maniere un peu approximative (pas eu le temps de calculer la tangente et la nature du point singulier en t=-1 et je l'ai mal positionne par rapport a l'asymptote y=-x-3/4), je corrigerai jeudi prochain avec illustration
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2372.xws

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Message par parisse » jeu. sept. 18, 2014 4:44 pm

1/ Fin de l'exemple: calcul de la tangente au point singulier, calcul de la nature, positionnement correct et illustration sur machine du parcours de la courbe avec la tangente (http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2372.xws)

2/ Courbes en polaires: plan d'étude identique à paramétrique, mais plus simple. Branches infinies: si theta->+/-inf est dans le domaine après restriction, spirale vers l'infini ou vers 0 ou vers un cercle asymptote si la limite de r(theta) existe. Si theta->theta0, recherche de lim r(theta)*sin(theta-theta0) si existe asymptote oblique Y=l dans le repère tourné.
Etude locale: vitesse=(r',r) dans le repère (e_r,e_theta). Conséquence: si r<>0 point régulier (si r'=0 tangente perpendiculaire au rayon vecteur). Si r=0, la tangente est toujours portée par la droite d'angle theta_0, même si r'=0. Si r=0 et r'=0 point singulier, si r change de signe, allure normale, si r de signe constant, rebroussement de première espèce.
Pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0
Exemple r=cos(2theta) traité complètement en commençant par les symétries/périodicité.

3/ Coniques début.
Définition géométrique de l'ellipse et équation cartésienne, conséquence: ellipse=écrasement du grand cercle.

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Message par parisse » jeu. sept. 25, 2014 6:09 pm

25/9:
Coniques suite
a/ Ellipse
- rappel équation cartésienne réduite
- équation paramétrique trigonométrique de l'ellipse a*cos(t),b*sin(t)
- équation en polaire a*(1-e^2)/(1+e*cos(theta))
- propriété distance(M,foyer)=e*distance(M,directrice)
- application en mécanique céleste: lois de Kepler
b/ Parabole définie par distance(M,foyer)=distance(M,directrice), e=1
- équation cartésienne réduite y=(x^2+1)/2
- équation en polaire réduite
- illustration des rayons réfléchis qui passent par le foyer
c/ Hyperbole définie par |FM-F'M|=2a<2c=FF'
- équation cartésienne
- paramétrisation trigo hyperbolique
- laissé le calcul de l'équation polaire et des asymptotes en exercice
utilisation en physique: problème à 2 corps (trajectoire non périodique), interférence entre 2 sources lumineuses situées aux foyers.
d/ Paramétrisation rationnelle d'une conique définie par une équation du second degré passant par (0,0). Discussion selon le discriminant (en supposant que la fraction donnant x en fonction de t ne se simplifie pas).
Exemple traité x^2+x*y+y^2=1, vérification avec Xcas et l'instruction conique.
(attention dans la feuille d'exercices l'exo sur conique définie par foyer/directrice, erreur d'équation de droite entre x et y)

4/ Propriétés métriques des courbes: début
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantannée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt
En général on ne peut pas calculer de primitive exprimable avec les fonctions usuelles, mais on peut calculer une valeur approchée de l'intégrale si les bornes ont des valeurs numériques (calculatrice, méthodes enseignées en mat249).
Exemple y=x^3: x(t)=t, y(t)=t^3, int(sqrt(1+9t^2),t)

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Message par parisse » jeu. oct. 02, 2014 6:26 pm

Cours du 2/10:
Démo de tracé de courbe paramétrique sur émulateur TI89/HP49.
Longueur d'arc paramétrique: propriété intrinsèque (géométrique), la valeur est indépendante du paramétrage, de même que la tangente à une courbe par rapport à la vitesse qui est une grandeur cinématique. Quel est l'analogue intrinsèque de l'accélération?
Le paramétrage par s, la longueur d'arc est intrinsèque, il est naturel de calculer la vitesse et l'accélération par rapport à ce paramétrage. On trouve un vecteur normé T de direction la tangente, et sa dérivée par rapport à s est perpendiculaire à T, dT/ds=kappa*N, avec (M,T,N) repère orthonormé direct, dit repère de Frenet, kappa=courbure signée, R=|1/kappa| rayon de courbure.
Cas d'un arc de cercle de rayon r, on a alors r=1/kappa, justifiation du nom rayon de courbure.
kappa=d/ds(angle entre T et une direction fixée).
Retour à un paramétrage quelconque, formule pour accélération tangentielle dv/dt et normale v^2/R et formule pour le rayon de courbure en fonction de x',y',x",y".
Cercle osculateur: centré en M+1/kappa*N passant par M de rayon R.
Exemple: calcul pour la parabole (t,t^2).
On remarque que les racines carrées disparaissent pour M+1/kappa*N (fait général).
Illustration machine: dessin du repère mobile de Frénet et du cercle osculateur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2378.xws
On observe que la courbe traverse le cercle osculateur au point de contact, sauf en t=0, c'est ainsi qu'on définit un sommet d'une courbe (le fait qu'on traverse vient du contact d'ordre 2, la différence est génériquement d'ordre 3 donc change de signe en 0).
Les centres des cercles décrivent une autre courbe, la développée.

Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2/R=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => spirale de Fresnel/clothoïde.

Définition de la développée, calcul de la tangente en un point de la développée, c'est la normale à la courbe de départ, longueur d'arc de la développée=différence entre les rayons de courbures de la courbe de départ. Je n'ai pas eu le temps d'illustrer que la développée est l'enveloppe des normales ni montrer une caustique.
J'ai dit en fin de cours que la développée est une notion avancée, et qu'il fallait commencer par bien comprendre courbure, cercle osculateur, accélération normale et tangentielle.

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Message par parisse » jeu. oct. 09, 2014 5:20 pm

9/10:
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe.
Illustration d'un calcul de caustique comme enveloppe de l'anticaustique d'une courbe (menu Aide/Exemple/geometrie de Xcas)
Petit récapitulatif de l'étude d'une courbe en paramétriques.

2ème partie: formes différentielles et intégrales curvilignes (intersection non vide avec le cours de mat234)
Définition abstraite de forme différentielle: application linéaire de R^2 dans R en chaque point. Exemple de la dérivée directionnelle d'une fonction, dV(v)=derivee directionnelle de V selon v. Calcul en coordonnées dV((a,b))=a*partial_x V+b*partial_y V. Exemple V(x,y)=x [respectivement y], dx(v)=1ère [resp. dy(v)=2ème] composante de v.
On a alors dV=partial_x V dx+ partial_y V dy
Definition du gradient: dV(w)=gradient V.v (gradient note \nabla)
Exemple d'application: retrouver l'expression de nabla V en coordonnées polaires
Exemple: calcul de gradient distance(A,M), A point fixé, pour M différent de A
dV s'annule sur un vecteur tangent à une courbe de niveau (ou gradient V est orthogonal à une ligne de niveau).
Exemple: la tangente à une ellipse est la bissectrice extérieure des directions issues des foyers, d'où l'on déduit géométriquement que des rayons lumineux issus d'un foyer se réfléchissant sur un miroir elliptique passent par l'autre foyer.

Différentielle plus générale: omega=M(x,y)dx+N(x,y)dy, M et N deux fonctions de R^2 dans R.

Intégrale curviligne d'une forme différentielle omega le long d'un arc paramétré gamma(t), t \in [a,b] = integrale de a à b de omega appliqué à la vitesse en gamma(t)* dt
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=y*dx
Autre paramétrage (u^2,u^4), u \in [0,1]. Même résultat.
Ceci se généralise, il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale.
Attention, si on parcourt l'arc dans l'autre sens, le résultat change de signe.
Exemple: ((1-u),(1-u)^2) pour u dans [0,1]

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Re: mat237 2014/15

Message par parisse » jeu. oct. 16, 2014 6:04 pm

16/10:
Integrale curviligne suite:
- calcul sur un arc donné géométriquement, en choisissant un paramétrage, par exemple graphe y=f(x), on prend (t,f(t)), ou en polaires r(theta), on prend (r(theta)*cos(theta),r(theta)*sin(theta))
Retour à la question: peut-on calculer l'intégrale par différence entre une fonction aux 2 extrémités comme en dimension 1?
Si omage=dV, alors oui
On appelle forme diff exacte une forme pour lequel c'est possible.
Si omega est exacte alors omega=dV (idée de preuve : construction de V en anticipant sur Stokes)
Condition nécessaire: partial M/partial y=partial N/partial x. On parle de forme fermée.
exacte -> fermée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie, s'il y a des trous dans le domaine de définition de omega.
Exemple 1: cos(x)*cos(y)*dx+(cos(y)-sin(y)*(sin(x)+y))*dy
Fermée, exacte; et calcul du potentiel V
Exemple 2: (y*dx-x*dy)/(x^2+y^2) fermée mais pas exacte à cause de (0,0), calcul de l'intégrale sur le cercle unité.
Définition de courbe intégrale pour omega: omega(d gamma/dt)=0 le long de gamma
Intérêt: si gamma se paramètre comme graphe de fonction y(x), alors M+N*y'=0 on a un graphe de solution de l'équation différentielle.
Si omega est exacte, omega=dV, alors une courbe intégrale est courbe de niveau de V, ce qui permet de résoudre l'équation différentielle.
Facteur intégrant: si oméga n'est pas fermée, on peut chercher une fonction f telle que (fM*dx+fN*dy) soit fermée, en général on cherche f dépendant de x ou de y seulement. Cela permet de résoudre plus d'équations différentielles de cette manière.
Exemple: (1-x^2*y)dx+x^2*(y-x)*dy, on trouve f(x)=1/x^2 et une équation implicite V(x,y)=0 (qui est du second degré en y, on peut donc expliciter y(x) ici).

Remarque: en thermodynamique, la chaleur deltaQ est une forme différentielle non fermée (la chaleur échangée dépend du chemin choisi), mais (dans le cas réversible) 1/T est un facteur intégrant, 1/T*deltaQ=dS (S=l'entropie), dS est une forme exacte.
Le travail d'une force conservative est une forme exacte, dérivant du potentiel de la force (au signe près avec les conventions des physiciens).

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Message par parisse » jeu. oct. 23, 2014 6:05 pm

23/10:
Prise en main calcul formel sur TI et HP (calcul à la machine du rayon réfléchi du DM). J'ai oublié de dire qu'on obtient une valeur numérique à partir d'une valeur exacte en faisant shift-Enter (->NUM sur HP et signe environ sur les TI).

Théorème de Stokes/Green-Riemann. Idée de démonstration: rectangle puis réunion de rectangles et passage à la limite.
Applications: calcul d'intégrales doubles, exemple aire de l'ellipse, centre d'inertie d'un quart de disque.

Equations différentielles: présentation sous forme résolue y'=f(y,t), f:R^nxR->R^n, y dans R^n. Si f(y,t)=f(y) ne dépend pas du temps, équation autonome. Si f(y,t)=f(y)+g(t) autonome avec forçage extérieur (= second membre).
Si y' apparait plus d'une fois, il faut se ramener à la forme résolue, par exemple ty'=y -> y'=y/t avec des problèmes à prévoir pour t=0.
Si l'équation est d'ordre >1, on peut s'y ramener en augmentant la dimension, par exemple équation fondementale de la dynamique x''=somme des forces(x,x',t)/m en posant y=(x,x').
Problématique: résolution explicite?
Exemples: équations linéaires à coefficients constants: rappel y'=a*y -> y(t)=C*exp(a*t)
autre exemple y''+w^2*y=0 -> A*cos(w*t)+B*sin(w*t)
avec 2nd membre: par ex. y'=a*y+cos(t), solution générale=solution particulière+sol. générale sans 2nd membre.
En général on ne peut pas résoudre explicitement, ce sont des cas exceptionnels, mais importants car permettent de trouver l'allure dans des cas non résolubles.
Problématique: existence/unicité d'une solution passant par une condition initiale donnée. On verra que c'est le cas, ce résultat permettra par exemple de montrer que 2 courbes solutions ne se coupent pas, par ex. y'=y*(1-y) a 2 solutions évidentes y=0 et y=1, donc toute solution avec y(t=0) dans [0,1] y reste.
Problématique: comportement asymptotique des solutions lorsque t->infini. Par exemple si y'=a*y, 3 cas a>0 |y|->infini (non physique), a=0, y constant, et a<0, y tend vers 0.
y'=a*y+cos(t), si a<0 toutes les solutions "tendent" vers la même solution, car la solution générale tend vers 0. C'est le régime permanent (le régime transitoire caractérise la période où la solution générale n'est pas encore négligeable).
Représentation graphique: champ des tangentes (1,f(y,t)) dans le plan (t,y) on trace ces vecteurs en des points d'un quadrillage. Cela donne une idée des solutions, une courbe solution est tangente au vecteur si elle passe par un point du quadrillage, et proche sinon.
En dimension 1, représentation dans le plan, en dimension 2, dans l'espace.
Si l'équation est autonome, on peut ne pas représenter le temps.

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Message par parisse » jeu. nov. 13, 2014 6:32 pm

13/11:
Illustration du champ des tangentes dans un niveau de géométrie 2-d de Xcas (+clics de quelques solutions) avec plusieurs exemples:
en dimension 1 y'=sin(t+y), y'=y^3/t, y'=y^2+t
autonome en dimension 2: [x,y]'=[y,x], = [y,-x] et non linéaire [y+0.2*x*y,-x-0.2*x*y]
comportement des solutions qui ne se croisent pas, sauf si f(y,t) n'est pas définie, qui peuvent tendre vers l'infini en temps fini, qui peuvent s'éloigner rapidement les unes des autres.
Mode d'emploi pour faire champ des tangentes+solution numérique sur calculatrices.

Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis): si f continument dérivable sur un domaine D ouvert de R^nxR il existe une solution maximale sur un intervalle ouvert en temps I passant par toute condition initiale de D.
Idée: équation intégrale équivalente -> méthodes d'approximation numérique généralisant le champ des tangentes, suite de fonctions y_(n+1)(t)=y_n(t_0)+int(f(y_n(u),u),u,t0,t) dont il faut montrer la convergence.

Conséquence: controle d'une solution par des solutions connues (pas de croisement), par exemple y'=y*(1-y), si 0<y(t0)<1 la solution y reste, y est croissante donc convergente en +infini, donc la limite est 1. Exercice: même chose si t tend vers l'infini, ou si y(t0)>1.
Conséquence: équation déterministe. Mais impossibilité de déterminer exactement la condition initiale -> imprédicitibilité (cf. divergence de l'erreur observée)

Méthodes explicites de résolution d'équations différentielles:
1/ Dimension n=1, ordre 1, à variables séparables
Exemple: résolution de y'=y*(1-y), on retrouve le comportement asymptotique précédent. Cas où y(t0)<0 ou >1, asymptote verticale, intervalle de définition maximal.
2/ Linéaire n=1, ordre 1, solution générale et variation de la constante
3/ Linéaire n=1, ordre h -> espace vectoriel de solutions,de dimension h en appliquant Cauchy-Lipschitz sur le système associé. Pas de méthode générale de résolution
4/ Linéaire à coefficient constant, équation caractéristique P(r)=0.
Prop: Si P a h racines simples r_1, .., r_j, ..., l'espace vectoriel des solutions est engendré par les e^{r_j*t}
Démonstration partielle (il me reste à montrer l'indépendance linéaire).

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Message par parisse » jeu. nov. 20, 2014 7:07 pm

20/11:
Equations linéaires à coeffs constants suite: indépendance linéaire des e^{r_i*t}.
Cas où le polynôme caractéristique a des racines de multiplicité m>1, il faut remplacer e^{r*t} répété m fois par e^{r*t},t*e^{r*t},...,t^{m-1}*e^{r*t}.
Exemples y''+3y'-4y=0, y''+2y'+y=0, y''+2y'+2y=0
Cas des couples de racines complexes conjuguées, retour au réel.
Résolution avec second membre: solution particulière+solution générale.
Méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière.
y=sum_j lambda_j*y_j où les y_j forment une base de solutions de l'équation homogène.
résolution de système linéaire en les lambda_j' en imposant sum_j lambda_j'*y_j=0 (ordre 2), sum_j lambda_j'*y_j^[k dérivée]=0 pour k<ordre-1, et l'équation différentielle sum_j lambda_j'*y_j^[ordre-1 dérivées]=second membre/a_ordre.
Exemple résolution de y''+3y'-4y=exp(t).
Cas particulier: si second membre B(t)*exp(r*t), solution particulière de la même forme Q(t)*exp(r*t) avec Q de même degré que B + multiplicité de r dans le polynôme caractéristique.

Systèmes: Y'=A*Y(t) [+second membre B(t)], Y(t) vecteur de R^n
Passage d'une équation d'ordre n à un système d'ordre 1 en dimension n, Y(t)=(y,y',...)
exemple en ordre/dimension 2.
Passage inverse de la dimension 2 à l'ordre 2.
J'ai dit que le passage inverse se généralisait sans plus de détails.
Résolution sous forme matricielle dans le cas diagonalisable uniquement A=P*D*P^(-1), D diagonale, Y'=A*Y, Y=P*Z, Z vérifie un système diagonal Z'=D*Z, résolution, puis Y=P*Z.
Exemple Y'=A*Y avec la matrice [[0,1],[4,-3]] correspondant au passage y''+3y'-4y à un système. Diagonalisation faite à la machine P,D:=jordan(A).

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Message par parisse » jeu. nov. 27, 2014 6:49 pm

27/11:
Mode d'emploi sur calculatrices desolve/eigVl/eigVc sur TI et DESOLVE/EGVL/EGV/LDEC sur HP.
Résolution de Y'=A*Y+B par variation des constantes Y=P*(C1(t)*exp(r1*t),...,C_n(t)*exp(r_n*t))
Exemple Y'=[[0,1],[4,-3]]*Y+[0,exp(t)]

Autre méthodes de résolution exacte:
* intégrale première (constante du mouvement)
- exemple énergie totale=1/2*m*(dx/dt)^2+V(x)=C, en dimension 1, cela transforme une équation du second ordre en 1er ordre à variables séparables
- exemple problème à 2 corps, d^2r/dt^2=-mu/r^2*e_r, 1ère constante L=r vectoriel dr/dt => mouvement plan et loi des aires r^2*d(theta)/dt=L, 2ème constante E=1/mu*dr/dt vectoriel L - e_r => mouvement sur une ellipse.
- en dimension1 ordre 1, forme fermée/exacte ? si oui, les courbes de niveau du potentiel V sont les courbes intégrales. Si non, on peut chercher un facteur pour rendre la forme fermée. Exemple: y'=-(3x^2+y^2)/(2*(x-1)*y)
- cas des équations linéaires d'ordre n dont on connait une solution s, en posant y=s*z, phi=z' est solution d'une équation d'ordre n-1. Exemple: x*y''+y'=(4x^3+4x)*y et s=exp(x^2)

Comportement asymptotique des solutions:
j'ai juste eu le temps de faire y'=a*y et de dire que pour le cas général si toutes les racines de l'équation caractéristique ont une partie réelle négative alors la solution tend vers 0.

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Message par parisse » jeu. déc. 11, 2014 6:52 pm

11/12:
Comportement asymptotique lorsque t->+infini, suite
Equations linéaires d'ordre 2 à coefficients constants:
* cas sans second membre, discussion selon le signe du discriminant, puis selon le signe des racines pour delta>=0 ou selon le signe de re(paire de racines conjuguées). Amortissement exponentiel ou exponentiel avec oscillation.
Exemples: y''+3y'+2y=0, y''+y'+y=0, y''+y=0
* forçage périodique lorsque la solution générale tend vers 0 ou est périodique: second membre de type A*cos ou sin(omega*t): cas ou i*omega n'est pas racine de l'équation caractéristique: solution particulière amplitude/déphasage
cas ou i*omage est racine: résonance.
Equation autonome du 1er ordre en dimension 1 y'=f(y). Solution y=r stationnaire si f(r)=0. Monotonie entre 2 racines consécutives de f, comportement en +infini. Stabilité selon le signe de f'(r) (si non nul).
Illustration machine amortissement exponentiel, exponentiel oscillant, régime stationnaire pour second membre non résonant, résonant ou presque résonant.

J'ai reporté à jeudi 18 le comportement asymptotique des systèmes pour avoir le temps de commencer le calcul variationnel.
Lagrangien L(x,x',t) (x' noté x point), action S, exemples: longueur d'arc, lagrangien 1/2*m*x'^2-V(x) de la mécanique classique (force conservatrice).
Equations d'Euler-Lagrange (théorème énoncé, je ferais une preuve heuristique la prochaine fois) pour minimiser S sur les chemins d'extrémités fixés vus comme courbes paramétrées par le temps avec paramètres fixé aux extrémités.
Exemple: longueur d'arc minimale dans R^2 -> segment
lagrangien de la mécanique classique -> m*accélération=forces

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Message par parisse » jeu. déc. 18, 2014 5:51 pm

Calcul variationnel suite:
Intérêt du lagrangien: le principe de moindre action reste vrai dans d'autres systèmes de coordonnées, pas forcément cartésien. Exemple en coordonnées polaires.
Recherche d'intégrales premières: si L ne dépend pas de theta, alors Euler-Lagrange entraine conservation du moment cinétique m*r^2*d/dt(theta). Si L ne dépend pas de x, conservation de la quantité de mouvement m*dx/dt.
Définition du hamiltonien H=sum_i x_i_point*drond L/drond x_i_point -L
Prop: si L ne dépend pas explicitement du temps, alors H est conservé.
Exemple: en mécanique classique, H=énergie totale
Exemple: lagrangien relativité restreinte L=-m*c^2*sqrt(1-x_point^2/c^2)-V
Si L ne dépend pas explicitement de x, conservation de la quantité de mouvement mx_point/sqrt(1-x_point^2/c^2)
Exercice (à faire): calcul de H.
Preuve de Euler-Lagrange.

Comportement asymptotique des systèmes différentiels d'ordre 1:
* cas linéaires à coefficients constants diagonalisable: solution Y=P*(alpha_j exp(lambda_j t), on classe les valeurs propres par partie réelle croissante, le comportement en t->+infini est dicté par la valeur propre de partie réelle maximale ou par une paire de valeurs propres conjuguées de partie réelle maximale.
Si toutes les valeurs propres ont une partie réelle < 0 alors on tend vers 0.
En dimension 2, allure des courbes dans les différents cas génériques : 2 réels <0, 2 réels >0, 1 réel<0 et 1 réel>0, 2 valeurs propres conjugués de partie réelle<0 ou >0. On a la tangente en 0 porté par le vecteur propre prépondérant ou la direction asymptotique ou l'asymptote en l'infini porté par ce vecteur propre.
Illustration avec Xcas.
* cas autonome: Y'=f(Y), on recherche des solutions stationnaires, définition d'équilibre stable (pour toute condition initiale proche d'une solution stationnaire, on retourne à l'équilibre si t->+infini), on a vu en dimension 1 que l'équilibre est stable si f'<0, on admet que c'est encore le cas si la matrice f'(Ye) du système linéarisé Y'=f'(Ye)*(Y-Ye) a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative.

parisse
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Re: mat237 2014/15

Message par parisse » ven. janv. 09, 2015 5:57 pm

9/1/2015: mise en ligne du sujet/corrige
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... 37ex15.pdf

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