cours 15/3/2011

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parisse
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cours 15/3/2011

Message par parisse » mer. mars 16, 2011 7:44 am

Series entieres:
- thm de majoration du reste pour |x|<|x_0| lorsque |a_k x_0^k| <= M pour k>=rang donne n_0
idee de la preuve (en admettant la convergence)
corollaire: existence du rayon de convergence
- exemple si a_k=1, on peut prendre x_0=1 et M=1
- thm (admis) sur les operations (+,-,*,inv si a0!=0, composition si b0=0, derivation, integration)
- exemple:integration de sum_k x^k -> -ln(1-x), on peut aussi prendre a_k=1 et x_0=1, M=1 -> calcul de ln(2)=-ln(1-1/2),
- fonctions developpables en series entieres: ln sur ]-1,1[ (preuve donnee juste avant), exp sur R (preuve par reste Taylor), sin/cos, atan(x) (exercice suggéré)
- pour tan(x) calcul des coefficients difficiles mais on peut obtenir une valeur approchee par quotient de sin/cos
- 3eme critere de majoration du reste: series alterneees
- methode mixte de calcul de ln(1+x) pour x>0 en resolvant exp^X=1+x par rapport a X par la methode de Newton avec valeur initiale le developpement a un petit ordre qui est une serie alternee en s'arretant a un terme tel qu'on soit >= ln(1+x) pour etre sur que Newton converge (fonction convexe croissante).

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