mat404 2020

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parisse
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Message par parisse » lun. janv. 13, 2020 12:58 pm

13/1:
5 chapitres: revisions d'algebre lineaire, formes bilineaires symetriques, produits scalaires, series numeriques, series de Fourier.
Motivation: decomposer une fonction periodique a l'aide des fonctions periodiques fondementales sin/cos, pour resoudre ou mieux comprendre les solutions de certaines equations de la physique pour lesquelles le principe de superposition s'applique. Exemple equation lineaire du 2nd ordre a coeff constant avec second membre periodique, si c'est un sin/cos on connait la forme d'une solution particuliere.
Certaines equations n'ont pas de solution analytique, mais on peut decrire les solutions a partir de sommes de solutions particulieres a base de sin/cos. C'est le cas de l'equation de la chaleur.
Modelisation d'une tige qu'on a utilise (en x=L) pour remuer les braises dans un feu et qui est ensuite laissee dans un milieu isolant. Dans [x,x+dx], chaleur entrant en x+dx c'est dT/dx(x+dx), chaleur sortant en x c'est dT/dx(x), la difference sert a rechauffer dx*dT/dt. Conditions aux bords dT/dx(0)=dT/dx(L)=0.
Recherche d'une solution a variables separees f(x)*g(t) -> g'/g=k*f''/f=alpha, alpha<=0 sinon g explose. Quantification de alpha avec les conditions aux bords. Solution particuliere en cos(k*pi*x/L)*exp(-n^2*pi^2/L^2*t).
Pour donner du sens a tout cela, il faut revenir sur l'algebre lineaire, mais avec des fonctions comme vecteur. Il faut aussi donner un sens a convergence (->produit scalaire, norme), comprendre la convergence de somme a l'infini de reels (avant de passer aux fonctions).

Chapitre 1: revisions d'algebre lineaire.
Resolution de systemes lineaires: matrice du systeme, pivot de Gauss. Structure de l'ensemble des solutions (solution particuliere+solution generale de l'homogene, principe de superposition)
Exemple: syst 3x3 dont un avec une colonne de 0 a partir de la ligne du pivot pour illustrer le passage a la colonne suivante.
Definition d'espace vectoriel sur R ou C: loi + de groupe commutatif et loi externe.
Exemples R^2, R^3, R^n, matrices a coeff reels, polynomes a coeff reels, fonctions de R dans R ou d'un intervalle de R dans R.
Sur C: C^2, C^3, C^n, matrices a coeff complexes, poly a coeff complexes, fonctions de R dans C
Proposition: sous-espace vectoriel: contient 0, est stable par + et par multiplication par un scalaire.
Exemple: fonctions continues de R->R
Exercice: fonction periodique de R->R, fonctions periodiques de periode 2*pi

parisse
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Re: mat404 2020

Message par parisse » ven. janv. 17, 2020 9:15 am

17/1:
Vect(v_1,..,v_n) est un sous-espace vectoriel. Famille generatrice (finie), def d'espace de dimension finie. Recherche d'une famille generatrice sans vecteur superflu -> def. famille libre, extraction d'une famille libre et generatrice d'une famille generatrice -> base.
Exemple de bases: R^n, R_n[X], matrices a 3 lignes et 2 colonnes sur C, solutions de f''-2f=0

Prop: une famille libre dans un ev ayant une base de n elements a au plus n elements.
Preuve: si n+1 elements, on a un systeme de n equations a n+1 inconnues.
Corollaire: toutes les bases ont meme nombre d'elements, c'est la dimension.
Dimension et base canonique de R^n, R_n[X], M_l,c(R) (matrices ayant l lignes et c colonnes)
Contre-exemple: R[X] ev n'est pas de dimension finie (preuve avec le degre max d'une eventuelle famille generatrice)
les fonctions periodiques de periode 2pi: c'est justement le but du cours sur les series de Fourier de trouver une sorte de base infinie avec les fonctions x->1, x->sin(x), x->cos(x), x->sin(2x), etc.

Prop: une famille libre de n elements dans un espace de dimension n est une base.
Plus facile a verifier, car on a un systeme homogene.

Coordonnees dans une base.
Exemple: base (1,1) et (1,-1) de R^2 et coordonnees [alpha,beta] de (x,y) dans cette base verifient le systeme
P[alpha,beta]*=[x,y]* (* signifie ici transposee pour avoir des vecteurs colonnes) de matrice P=[[1,1],[1,-1]], les coordonnees de la base ecrits en colonne
Generalisation: def de matrice de passage P d'une base B1 a une base B2 (coord de la base B2 exprimee dans B1 en colonnes), si v a pour coordonnees le vecteur colonne V1 dans B1 et V2 dans B2 on a la formule P*V2=V1. Pour eviter de se tromper sur la position de P, on peut prendre le 1er vecteur de la base B2, V2=[1,0,...]* et V1=1ere colonne de P.

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