mat404 2020

Forum destiné aux étudiants de l'UGA (Université Grenoble-Alpes)

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parisse
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Message par parisse » lun. janv. 13, 2020 12:58 pm

13/1:
5 chapitres: revisions d'algebre lineaire, formes bilineaires symetriques, produits scalaires, series numeriques, series de Fourier.
Motivation: decomposer une fonction periodique a l'aide des fonctions periodiques fondementales sin/cos, pour resoudre ou mieux comprendre les solutions de certaines equations de la physique pour lesquelles le principe de superposition s'applique. Exemple equation lineaire du 2nd ordre a coeff constant avec second membre periodique, si c'est un sin/cos on connait la forme d'une solution particuliere.
Certaines equations n'ont pas de solution analytique, mais on peut decrire les solutions a partir de sommes de solutions particulieres a base de sin/cos. C'est le cas de l'equation de la chaleur.
Modelisation d'une tige qu'on a utilise (en x=L) pour remuer les braises dans un feu et qui est ensuite laissee dans un milieu isolant. Dans [x,x+dx], chaleur entrant en x+dx c'est dT/dx(x+dx), chaleur sortant en x c'est dT/dx(x), la difference sert a rechauffer dx*dT/dt. Conditions aux bords dT/dx(0)=dT/dx(L)=0.
Recherche d'une solution a variables separees f(x)*g(t) -> g'/g=k*f''/f=alpha, alpha<=0 sinon g explose. Quantification de alpha avec les conditions aux bords. Solution particuliere en cos(k*pi*x/L)*exp(-n^2*pi^2/L^2*t).
Pour donner du sens a tout cela, il faut revenir sur l'algebre lineaire, mais avec des fonctions comme vecteur. Il faut aussi donner un sens a convergence (->produit scalaire, norme), comprendre la convergence de somme a l'infini de reels (avant de passer aux fonctions).

Chapitre 1: revisions d'algebre lineaire.
Resolution de systemes lineaires: matrice du systeme, pivot de Gauss. Structure de l'ensemble des solutions (solution particuliere+solution generale de l'homogene, principe de superposition)
Exemple: syst 3x3 dont un avec une colonne de 0 a partir de la ligne du pivot pour illustrer le passage a la colonne suivante.
Definition d'espace vectoriel sur R ou C: loi + de groupe commutatif et loi externe.
Exemples R^2, R^3, R^n, matrices a coeff reels, polynomes a coeff reels, fonctions de R dans R ou d'un intervalle de R dans R.
Sur C: C^2, C^3, C^n, matrices a coeff complexes, poly a coeff complexes, fonctions de R dans C
Proposition: sous-espace vectoriel: contient 0, est stable par + et par multiplication par un scalaire.
Exemple: fonctions continues de R->R
Exercice: fonction periodique de R->R, fonctions periodiques de periode 2*pi

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Re: mat404 2020

Message par parisse » ven. janv. 17, 2020 9:15 am

17/1:
Vect(v_1,..,v_n) est un sous-espace vectoriel. Famille generatrice (finie), def d'espace de dimension finie. Recherche d'une famille generatrice sans vecteur superflu -> def. famille libre, extraction d'une famille libre et generatrice d'une famille generatrice -> base.
Exemple de bases: R^n, R_n[X], matrices a 3 lignes et 2 colonnes sur C, solutions de f''-2f=0

Prop: une famille libre dans un ev ayant une base de n elements a au plus n elements.
Preuve: si n+1 elements, on a un systeme de n equations a n+1 inconnues.
Corollaire: toutes les bases ont meme nombre d'elements, c'est la dimension.
Dimension et base canonique de R^n, R_n[X], M_l,c(R) (matrices ayant l lignes et c colonnes)
Contre-exemple: R[X] ev n'est pas de dimension finie (preuve avec le degre max d'une eventuelle famille generatrice)
les fonctions periodiques de periode 2pi: c'est justement le but du cours sur les series de Fourier de trouver une sorte de base infinie avec les fonctions x->1, x->sin(x), x->cos(x), x->sin(2x), etc.

Prop: une famille libre de n elements dans un espace de dimension n est une base.
Plus facile a verifier, car on a un systeme homogene.

Coordonnees dans une base.
Exemple: base (1,1) et (1,-1) de R^2 et coordonnees [alpha,beta] de (x,y) dans cette base verifient le systeme
P[alpha,beta]*=[x,y]* (* signifie ici transposee pour avoir des vecteurs colonnes) de matrice P=[[1,1],[1,-1]], les coordonnees de la base ecrits en colonne
Generalisation: def de matrice de passage P d'une base B1 a une base B2 (coord de la base B2 exprimee dans B1 en colonnes), si v a pour coordonnees le vecteur colonne V1 dans B1 et V2 dans B2 on a la formule P*V2=V1. Pour eviter de se tromper sur la position de P, on peut prendre le 1er vecteur de la base B2, V2=[1,0,...]* et V1=1ere colonne de P.

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Re: mat404 2020

Message par parisse » lun. janv. 20, 2020 6:30 pm

20/1:
Prop: un sous-espace vectoriel W d'un ev V de dim finie n est de dim finie m<=n avec m=n si et seulement si W=V
Def: V=somme directe V1, ..., Vn
Prop: Si V de dim finie, base de V = union de bases de Vi

Applications lineaires:
def: phi V->W
Exemples 1/ R^3->R^2
2/ contre-exemple R^3->R^2
3/ transposee dans les matrices 2x2
4/ phi(f)=2f' des fonctions C1 de R dans R vers les fonctions continues de R dans R

def Ker(phi)
prop Ker(phi) sev de V
preuve
exemples 1, 2, 4 ci-dessus.

def Im(phi)
prop Im(phi) sev de V
exemples 1, 2, 4.

Theoreme du rang: si V est de dimension finie, Im(phi) est de dimension finie et dim V= dim Ker(phi)+ dim Im(phi)
Idee de preuve en ecrivant dans une matrice en ligne les coordonnees des images d'une base de V et en reduisant par Gauss, les lignes non nulles forment une base de Im(phi), les lignes nulles de la matrice reduite correspondent a des combinaison lineaire de vecteurs de la base de V d'images nulles, donc dans Ker(phi) dont ils forment une base.

Exemple: phi((x,y,z))=(x+2y+3z,4x+5y+6z,7x+8y+9z)

Matrice M d'une application lineaire V(base B)-> W (base B')
Definition.
Calcul de phi(v) en fonction de M et des coordonnees de v.
Correspondance entre operations sur les matrices et les applications lineaires: somme, multiplication par un scalaire. Produit de matrices et composition d'applications lineaires, condition de compatibilite des dimensions.

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Re: mat404 2020

Message par parisse » lun. janv. 27, 2020 3:07 pm

27/1:
Formule donnant le coefficient i,j d'un produit de matrices a partir de la composition d'applications lineaires

Matrices carrees: espace vectoriel avec en plus un produit *non commutatif* de matrices, contre-exemple a la commutativite.
Inverse de matrice. Calcul par resolution simultanee de n systemes ayant meme matrice et seconds membres les colonnes de la matrice identite -> pivot de Gauss sur (A|Id)
Exemple en dimension 3, verification. Importance de verifier, et en cas d'erreur de calcul a la main, ne pas hesiter a utiliser les outils de calcul!!
Formule de changement de base N=P^-1*M*P pour un endomorphisme de matrice M dans la base B et N dans B', P la matrice de passage de B a B'.
Exemple de verification: matrice de symetrie par rapport a Ox dans R^2, base B canonique et base B' avec P:=[[1,1],[1,-1]]

Transposition et produit, t(AB)=tB*tA, meme regle d'inversion des arguments que pour (AB)^-1=B^-1*A^-1
Matrice symetrique tA=A, antisymetrique tA=-A, forment un sous-espace vectoriel (noyau de id-transposee ou id+transposee). Exercice: symetrique et antisymetrique en somme directe (exo de la feuille de TD bilineaire)

Chapitre 2 : formes bilineaires
Motivation: produit scalaire permet de caracteriser l'orthogonalite, calculer les distances et les angles. Memes proprietes qu'un produit, i.e. lineaire par rapport a chaque argument -> donc bilineaire. Proprietes supplementaires: symetrie et u.u>=0.
Chapitre 2= etude plus generale des formes bilineaires pas forcement symetriques ni telles que u.u>=0, le chapitre 3 sera consacre aux produits scalaires.

Definition de forme bilineaire. Cas symetrique. Cas antisymetrique.
Premiers exemples:
- R^2/R^3/R^n produit scalaire canonique.
- R^3 phi(.,.)=x*x'+x*y'+2x'*y+z*z' est bilineaire, ni symetrique ni antisymetrique
- R^2 phi(.,.)=x*y+x'*y' n'est pas bilineaire
- R[X] phi(P,Q)=P(0)*Q(1) (a verifier la prochaine fois)

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Message par parisse » lun. févr. 03, 2020 5:06 pm

cours 3/2:
Exemples de forme bilineaire suite:
* P(0)Q(1) sur les polynomes a coeffs reels (ni sym, ni antisym)
* tr(MN) sur les matrices (il faudra que je revienne dessus la prochaine fois pour la symetrie)
* int(f(t)*g(t),t,-1,1) sur les fonctions continues de [-1,1] dans R (symetrique)
* le determinant dans R^2 (antisymetrique)

Definition de la forme quadratique q associee a une forme bilineaire symetrique phi. Calcul de phi en fonction de q.
Interet: on n'a qu'un seul argument au lieu de deux.

En dimension finie, definition de la matrice d'une forme bilineaire symetrique dans une base.
Formule tran(X)*M*Y
Exemples
x1y1+x2y2+3x1y2−x2y1
P(0)Q(1) sur R_2[X]
Formule de changement de base tran(P)*M*P.
Exemple de verification avec P(0)Q(1) la base canonique de R_2[X] et la base 1,X-1,X^2-X
Si phi est symetrique, M est symetrique.

Recherche de l'analogue de la reduction des endomorphismes: une base B ou la matrice de phi est diagonale. On a alors phi(e_i,e_j)=0 => definition de l'orthogonalite entre 2 vecteurs pour une forme bilineaire symetrique phi.
Remarque: si phi est antisymetrique et si la matrice de phi est diagonale, alors phi est nulle, pas tres interessant => on s'interesse aux formes bilineaires symetriques. Attention, une forme non symetrique n'est pas forcement antisymetrique!
Autre raison de s'interesser aux formes bilineaires symetriques: Si phi est symetrique, u orthogonal a v equivaut a v orthogonal a u.
Definition: base phi-orthogonale en dimension finie. Base phi-orthonormale.
Theoreme: phi admet des bases phi-orthogonales. Par contre phi n'admet pas forcement de base phi-orthonormale.
Idee de preuve par recurrence: soit psi(v)=phi(e_n,v), dim Im(psi)=1 ou 0, si c'est 1 on applique le resultat a phi restreint a Ker(psi) (et on ajoute e_n a une base de Ker(psi), il faut donc que phi(e_n,e_n) soit non nul), sinon on prend n'importe quel sous-espace de dimension n-1 ne contenant pas e_n.
Ce n'est pas du tout de cette facon qu'on procede en pratique!

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Message par parisse » lun. févr. 10, 2020 12:10 pm

cours du 10/2:
Orthogonalite
exemple 1: phi(P,Q)=int(P*Q,-1..1) sur R2[X], 1 est orthogonal a X, X^2 est orthogonal a X, X^2 n'est pas orthogonal a 1. {1,X,X^2} n'est pas une base phi-orthogonale. Recherche d'un lambda tel que {1,X,X^2-lambda} soit orthogonale. lambda=1/3, la base est orthogonale mais n'est pas orthonormale. Ici on peut la rendre orthonormale en divisant chaque element par sqrt(phi(element,element)).
exemple 2: phi sur R^3 de matrice [[0,1,0],[1,0,-1],[0,-1,0]]
Le vecteur (1,0,0) est orthogonal a lui-meme.
Il existe des vecteurs orthogonaux a tout le monde, par exemple (1,0,1).
On ne peut pas construire une base orthogonale en mettant (1,0,0) dedans.
Exemple de base orthogonale (1,0,1), (1,1,0), (1,-1,0)

Definition d'orthogonal d'un sous-ensemble E de V espace vectoriel.
Propriete: c'est un sous-espace vectoriel de V, egal a l'orthogonal de Vect(E), egal a l'orthogonal d'une famille generatrice de Vect(E), cette derniere propriete donne un systeme d'equations qui determine l'orthogonal de E

Definition de Ker(phi)=orthogonal de V.
Exemple 1: reduit au polynome nul.
Exemple 2: c'est Vect((1,0,1))

Prop: en dimension finie, Ker(phi)=noyau de l'application lineaire ayant meme matrice que phi dans une base donnee.
Def: rang(phi)=dim(V)-dim(Ker(phi))
Ker(phi) et rang(phi) ne dependent pas de la base.
Prop: rang(phi)=rang de l'application lineaire ayant meme matrice que phi dans une base donnee=rang(matrice).
Ne depend pas de la base.

Si la base B est orthogonale, le rang(phi) est le nombre de coeffs non nuls sur la diagonale. Ker(phi)=Vect(e_i) ou phi(e_i,e_i)=0.

Formes quadratiques en dimension finie.
Matrice d'une forme quadratique en fonction de son expression en coordonnees.

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Re: mat404 2020

Message par parisse » lun. févr. 17, 2020 4:09 pm

17/2 (7eme cours)
3 exemples de matrices de formes quadratiques.
R^2 x^2+4*x*y, R^3 x^2+2xy+4xz+2yz, l'exemple du poly dans R^4

Expression de q dans une base B' q-orthogonale. Si Q est la matrice de passage de B' vers B (attention de B' vers B, Q=P^-1 ou P est la matrice de passage de B a B') alors q=sum_i a_ii (sum_j q_ij*x)j)^2.
=> Pour trouver une base q-orthogonale on va essayer d'exprimer q de cette facon, avec Q inversible.

Algorithme de reduction de Gauss:
Cas generique: le coeff de x_1^2 est non nul, on elimine cette variable, on recommence avec les variables qui restent, cela donne une matrice Q triangulaire superieure inversible et facile a inverser : resolution de systemes triangulaires
Q*vecteur colonne [x1,..,xn]=les vecteurs colonnes de la base canonique de R^n
Exemple avec x^2+4*x*y, reduction, calcul de P
2eme exemple dans R^3

Si le coeff de x1^2 est nul, on peut commencer par une autre variable.
S'il n'y a pas de carre de variable, on elimine 2 variables en meme temps en creant une difference de carres 4*alpha*beta=(alpha+beta)^2-(alpha-beta)^2, en mettant dans alpha*beta tout ce qui depend des 2 variables.
Exemple du poly dans R^4. La matrice est quasi-triangulaire (avec un petit bourrelet sous la diagonale) et reste inversible.

Rappel: rang(q)=rang(phi) est independant de la base. C'est le nombre de coeffs non nuls sur la diagonale dans une base q-orthogonale.
Enonce du theoreme d'inertie de Sylvester: la signature=(nombre de coeffs >0, nombre de coeffs<0) ne depend pas de la base.
Exemple x^2+4*x*y signature (1,1)
exemple du poly signature (3,1)

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Re: mat404 2020

Message par parisse » lun. mars 02, 2020 1:02 pm

2/3 (cours 8)
Observation: si on ordonne les elements d'une base q-orthogonale en (e_1,...,e_r, e_(r+1),..,e_(r+s),..,e_n) alors q est positive sur Vect(e_1,...,e_r) et ne s'annule qu'au vecteur nul. Sur Vect(e_(r+1),...,e_n) q est negative ou nulle.
Preuve du thm de Sylvester.
Cas particulier: si la signature=(dimension,0), il existe des bases q-orthonormees.
Exemple: x^2-4*x*y+2*x*z+12y^2-12y*z+6z^2 = 1*(x-2y+z)^2+2*(2y-z)^2+3*(z)^2
On determine la base q-orthogonale puis on normalise en divisant par sqrt(q(e_i)), donc par sqrt(1), sqrt(2) ou sqrt(3) ici. Attention a ne pas diviser par la norme pour le produit scalaire usuel.
Expression de q dans la base q-orthonormee, et de la forme polaire de q.

Chapitre 3: produits scalaires
But: donner des proprietes valables aussi bien pour le produit scalaire usuel ou l'exemple precedent et utilisable aussi en dimension infinie.

Proprietes du produit scalaire dans R^2: norme(v)=sqrt(v.v)=distance entre les 2 extremites du vecteur,
v.w=norme(v)*norme(w)*cos(v,w) (preuve: cas particulier ou v est parallele au premier vecteur de base, puis on s'y ramene en utilisant l'invariance par rotation en calculant tran(P)*identite*P ou P est la matrice de la rotation d'angle psi)
Consequence Cauchy-Schwarz dans ce cas
Coordonnees dans une base orthonormee en fonction du produit scalaire.
Recherche du vecteur d'une droite vectorielle D le plus proche d'un vecteur donne: se fait en construisant une base orthonormee adaptee, projection orthogonale sur D.

Proprietes du produit scalaire dans R^3: norme, cos(v,w), Cauchy-Schwarz.

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