Dérivée n-ième

[jchallier]

Bonsoir,

Comment obtenir avec Xcas la dérivée n-ième d'une fonction comme t -> sin(3*t) ou t-> exp(-2*t) ?

Merci pour vos réponses.

[Guillaume]

Bonjour,

une version récursive :

Code : Tout sélectionner

dn(f,n):={
si n==0 alors retourne(f)
sinon retourne(simplifier(fonction_derivee(dn(f,n-1))))
fsi
}:;

Qu'on peut utiliser ainsi :

Code : Tout sélectionner

dn(t->sin(3*t),8)

et qui renvoie

Code : Tout sélectionner

 (` x`)->6561*sin(3*` x`)

Une version avec une boucle :

Code : Tout sélectionner

Dn(f,n):={
local dnf,k;
dnf:=f;
si n==0 alors retourne(f)
sinon
  pour k de 1 jusque n faire
     dnf:=simplifier(fonction_derivee(dnf))
  fpour
fsi;
retourne(dnf)
}:;

[jchallier]

Merci pour ces réponses, mais est-il possible d'obtenir la formule générale de la dérivée d'ordre n ?

[Guillaume]

Je ne crois pas (Bernard ?). Bon, sinon en calcul formel, il y a une réponse directe :

Code : Tout sélectionner

deriver(sin(3*x),x$8)

C'est que je suis en plein algo et j'ai tendance à oublier les outils de calculs déjà implantés dans la machine.

[Guillaume]

J'y pense : en enlevant les "simplifier" dans les procédures précédentes, on peut avoir une idée des formules générales.

Par exemple, pour la dérivée 8e de sin(3x) :

Code : Tout sélectionner

 (` x`)->(-(-(-(-(sin(3*` x`)))*3*3)*3*3)*3*3)*3*3

[parisse]

Je ne pense pas qu'il soit possible de calculer la dérivée n-ième d'une expression formellement si n est un paramètre, sauf pour quelques cas particulier (dont exponentielle/sin/cos composé avec une fonction linéaire, ou une fonction polynomiale), sinon on n'apprendrait pas à faire des développements limités. On peut comme le suggère Guillaume, conjecturer avec diff(expression,x$n) lorsque n a une valeur.